1. 「2025 湖南婁底婁星二?！谷鐖D,在$\triangle ABC$中,$AB = BC$,$AB為\odot O$的直徑,$AC與\odot O相交于點D$,過點$D作DE\perp BC于點E$,$CB的延長線交\odot O于點F$,連接$OD$,$BD$。
(1) 求證：$DE為\odot O$的切線。
(2) 若$BE = 1$,$BF = 2$,求$AD$的長。
答案：解析
(1) 證明：∵ $ OA = OD $，∴ $ ∠A = ∠ADO $，
∵ $ AB = BC $，∴ $ ∠A = ∠C $，∴ $ ∠ADO = ∠C $，∴ $ OD // BC $。
∵ $ DE ⊥ BC $，∴ $ DE ⊥ OD $，
∵ $ OD $ 是 $ ⊙O $ 的半徑，∴ $ DE $ 是 $ ⊙O $ 的切線。
(2) 如圖，過點 $ O $ 作 $ OH ⊥ BF $ 于 $ H $，連接 $ OF $，則 $ ∠ODE = ∠DEH = ∠OHE = 90° $，
∴ 四邊形 $ ODEH $ 是矩形，∴ $ OD = EH $，$ OH = DE $，
∵ $ OF = OB $，∴ $ BH = FH = 1 $，∴ $ OD = EH = OB = 2 $，
∴ $ AB = 2OD = 4 $，$ OH = \sqrt{OB^2 - BH^2} = \sqrt{3} $，
∴ $ DE = OH = \sqrt{3} $，∴ $ BD = \sqrt{DE^2 + BE^2} = 2 $，
∴ $ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3} $。
2. 「2024 山西呂梁交城期中」如圖,$AB是\odot O$的直徑,點$C$,$D是AB$同側(cè)圓上兩點,$AC = BD$,$AD與BC交于點E$,延長$AD到F$,使$DF = DE$,連接$BF$。
(1) 求證：$CE = DE$。
證明：∵ $ AB $ 是 $ ⊙O $ 的直徑，∴ $ ∠C = ∠ADB = 90° $。在 $ Rt△ABC $ 和 $ Rt△BAD $ 中，$ \begin{cases} AB = BA \\ AC = BD \end{cases} $，∴ $ Rt△ABC ≌ Rt△BAD(HL) $，∴ $ BC = AD $，$ ∠ABC = ∠BAD $，∴ $ AE = BE $，∴ $ CE = DE $。
(2) 若$AD平分\angle BAC$,求證：$BF為\odot O$的切線。
證明：∵ $ ∠ADB = 90° $，∴ $ BD ⊥ AF $，∵ $ DF = DE $，∴ $ BE = BF $，∴ $ ∠BEF = ∠F $?！?$ AD $ 平分 $ ∠BAC $，∴ $ ∠CAE = ∠BAF $?！?$ ∠C = 90° $，∴ $ ∠CAE + ∠AEC = 90° $。∵ $ ∠AEC = ∠BEF $，∴ $ ∠CAE + ∠BEF = 90° $，∴ $ ∠BAF + ∠F = 90° $，∴ $ ∠ABF = 90° $，∴ $ AB ⊥ BF $，∵ $ OB $ 是 $ ⊙O $ 的半徑，∴ $ BF $ 是 $ ⊙O $ 的切線。
答案：證明
(1) ∵ $ AB $ 是 $ ⊙O $ 的直徑，∴ $ ∠C = ∠ADB = 90° $。在 $ Rt△ABC $ 和 $ Rt△BAD $ 中，$ \begin{cases} AB = BA \\ AC = BD \end{cases} $，∴ $ Rt△ABC ≌ Rt△BAD(HL) $，∴ $ BC = AD $，$ ∠ABC = ∠BAD $，∴ $ AE = BE $，∴ $ CE = DE $。
(2) ∵ $ ∠ADB = 90° $，∴ $ BD ⊥ AF $，∵ $ DF = DE $，∴ $ BE = BF $，
∴ $ ∠BEF = ∠F $?！?$ AD $ 平分 $ ∠BAC $，∴ $ ∠CAE = ∠BAF $。
∵ $ ∠C = 90° $，∴ $ ∠CAE + ∠AEC = 90° $。∵ $ ∠AEC = ∠BEF $，∴ $ ∠CAE + ∠BEF = 90° $，∴ $ ∠BAF + ∠F = 90° $，
∴ $ ∠ABF = 90° $，∴ $ AB ⊥ BF $，∵ $ OB $ 是 $ ⊙O $ 的半徑，∴ $ BF $ 是 $ ⊙O $ 的切線。
3. 「2024 廣西防城港防城期末」已知$P是\odot O$外一點,$PO交\odot O于點C$,$OC = CP = 2$,弦$AB\perp OC$,$\angle AOC的度數(shù)為60^{\circ}$,連接$PB$、$BC$。
(1) 求$BC$的長。
(2) 求證：$PB是\odot O$的切線。
答案：解析
(1) 如圖，連接 $ OB $。
∵ $ AB ⊥ OC $，$ ∠AOC = 60° $，
∴ $ ∠OAB = 30° $?！?$ OB = OA $，
∴ $ ∠OBA = ∠OAB = 30° $，
∴ $ ∠BOC = 60° $。∵ $ OB = OC $，
∴ $ △OBC $ 為等邊三角形，∴ $ BC = OC $?！?$ OC = 2 $，
∴ $ BC = 2 $。
(2) 證明：由(1)知，$ △OBC $ 為等邊三角形，∴ $ ∠OBC = 60° $，∵ $ OC = CP $，∴ $ BC = PC $，∴ $ ∠P = ∠CBP $，∴ $ ∠OCB = 2∠CBP $，∵ $ ∠OCB = 60° $，∴ $ ∠CBP = 30° $，∴ $ ∠OBP = 90° $，即 $ OB ⊥ PB $，∵ $ OB $ 是 $ ⊙O $ 的半徑，∴ $ PB $ 是 $ ⊙O $ 的切線。
4. 「2025 河南許昌禹州期中」如圖所示,$AB為半圓O$的直徑,點$C$,$F$在半圓上,過點$C的直線與OF的延長線相交于點D$,與$AB的延長線相交于點P$,$AC與OF相交于點E$,$DC = DE$,$OD\perp AB$。
(1) 求證：$PC為半圓O$的切線。
(2) 若$OB = BP$,$AB = 4$,求點$C到AP$的距離。
答案：解析
(1) 證明：如圖，連接 $ OC $，則 $ OC = OA $，
∴ $ ∠OCA = ∠A $，∵ $ DC = DE $，$ ∠DEC = ∠AEO $，
∴ $ ∠DCE = ∠DEC = ∠AEO $，∵ $ OD ⊥ AB $，∴ $ ∠AOE = 90° $，∴ $ ∠OCD = ∠OCA + ∠DCE = ∠A + ∠AEO = 90° $，
∴ $ PC ⊥ OC $，∵ $ OC $ 是半圓 $ O $ 的半徑，∴ $ PC $ 為半圓 $ O $ 的切線。
(2) 如圖，過點 $ C $ 作 $ CH ⊥ AP $ 于點 $ H $，∵ $ AB $ 是半圓 $ O $ 的直徑，且 $ AB = 4 $，∴ $ OC = OB = \frac{1}{2}AB = 2 $，∵ $ OB = BP $，
∴ $ BP = 2 $，∴ $ OP = 4 $，∴ $ CP = \sqrt{OP^2 - OC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3} $，∵ $ S_{△OCP} = \frac{1}{2}OP \cdot CH = \frac{1}{2}CP \cdot OC $，∴ $ CH = \sqrt{3} $，
∴ 點 $ C $ 到 $ AP $ 的距離為 $ \sqrt{3} $。
5. 「2024 江蘇南京玄武期中」如圖,在四邊形$ABCD$中,$AC$,$BD相交于點E$,且$AB = AC = AD$,經(jīng)過$A$,$C$,$D三點的\odot O交BD于點F$,連接$CF$。
(1) 求證：$CF = BF$。
(2) 若$CD = CB$,求證：$CB是\odot O$的切線。
答案：證明
(1) ∵ $ AB = AC $，∴ $ ∠ACB = ∠ABC $?！?$ AB = AD $，
∴ $ ∠ADB = ∠ABD $，∵ $ ∠ADB = ∠ACF $，∴ $ ∠ACF = ∠ABD $，∴ $ ∠ACB - ∠ACF = ∠ABC - ∠ABD $，即 $ ∠BCF = ∠CBF $，∴ $ CF = BF $。
(2) 連接 $ CO $ 并延長交 $ ⊙O $ 于 $ G $ 點，連接 $ GF $，∵ $ CG $ 為 $ ⊙O $ 的直徑，
∴ $ ∠GFC = 90° $，∴ $ ∠G + ∠GCF = 90° $。∵ $ ∠CDB = ∠G $，∴ $ ∠CDB + ∠GCF = 90° $。∵ $ CD = CB $，∴ $ ∠CDB = ∠CBD $。∵ $ ∠BCF = ∠CBD $，∴ $ ∠BCF = ∠CDB $，∴ $ ∠BCF + ∠GCF = 90° $，∴ $ ∠BCG = 90° $，∴ $ CG ⊥ BC $，∵ $ CG $ 為 $ ⊙O $ 的直徑，∴ $ CB $ 是 $ ⊙O $ 的切線。
