10.「2025江蘇鎮(zhèn)江期中,★☆」如圖,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,AC= 3,BC= 4,P為邊BC上一點,以P為圓心,$\frac{7}{2}$為半徑作圓,則當點C在圓內,點A在圓外時,線段CP的取值范圍為(
$\frac{\sqrt{13}}{2} ＜ CP ＜ \frac{7}{2}$
)
A.$\frac{\sqrt{13}}{2}＜CP＜\frac{7}{2}$
B.$0＜CP＜\frac{7}{2}$
C.$3＜CP＜5$
D.$\frac{1}{2}＜CP＜\frac{5}{2}$
答案：A 當點C在⊙P內時，CP ＜ $\frac{7}{2}$，當點A在⊙P上時，PA = $\frac{7}{2}$，∵∠C = 90°，AC = 3，∴此時CP = $\sqrt{PA^2 - AC^2} = \sqrt{(\frac{7}{2})^2 - 3^2} = \frac{\sqrt{13}}{2}$，∴要使點A在⊙P外，則CP ＞ $\frac{\sqrt{13}}{2}$，∴滿足條件的線段CP的取值范圍為 $\frac{\sqrt{13}}{2} ＜ CP ＜ \frac{7}{2}$。故選A。
11.「★☆」平面內一點P到$\odot O$上一點的最小距離為3 cm,最大距離為7 cm,則$\odot O$的半徑為
2 cm 或 5 cm
.
答案：答案 2 cm 或 5 cm
解析 設P到圓心O的距離為d，⊙O的半徑為r，當點P在⊙O內時，點P到⊙O上一點的最小距離為r - d = 3 cm，最大距離為r + d = 7 cm，∴2r = 10 cm，∴r = 5 cm。當點P在⊙O外時，點P到⊙O上一點的最小距離為d - r = 3 cm，最大距離為d + r = 7 cm，∴2r = 4 cm，∴r = 2 cm。綜上，⊙O的半徑為2 cm 或 5 cm。
方法解讀 點到圓上一點距離最值問題
設該點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則平面內一點到圓上一點距離的最大值為d + r，最小值為 |d - r|。該結論常用在解決動點在圓上的線段最值問題。
初中階段所學線段最值相關結論簡單概述有：兩點之間線段最短；垂線段最短；點到圓上一點最小值為 |d - r|。
12.「2025浙江寧波期中,★☆」如圖,AB是$\odot O$的弦,C是優(yōu)弧$\overparen{AB}$上一動點,連接AC,BC,M,N分別是AB,BC的中點,連接MN.若AB= 8,$\angle ACB= 45^{\circ}$,則MN的最大值為____.
答案：答案 $4\sqrt{2}$
解析 ∵點M，N分別是AB，BC的中點，∴MN = $\frac{1}{2}AC$，∴當AC取得最大值時，MN就取得最大值，當AC取得最大值時，AC為⊙O的直徑。如圖，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC = 90°，∵∠ACB = 45°，∴∠CAB = 45°，∴AB = CB，∵AB = 8，∴AC = $8\sqrt{2}$，∴MN = $\frac{1}{2}AC = 4\sqrt{2}$。故MN的最大值為 $4\sqrt{2}$。
13.「2025吉林長春榆樹期末,★☆」如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓弧的中點,$\triangle ABD和\triangle ABC$均內接于半圓O,AC、OC分別交BD于點E、F.若D是$\overparen{AC}$的中點,給出下面四個結論：①$\angle CAD= \angle DBA$；②CE= CF；③BC= 2AD；④$AD^{2}+DF^{2}= BF^{2}$.其中正確結論的序號是____.
答案：答案 ①②④
解析 ①∵點D是 $\overset{\frown}{AC}$ 的中點，∴$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$，∴∠CAD = ∠DBA，故①正確；
②∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB = 90°，∴∠DAE + ∠AED = 90°，∵C是半圓弧的中點，∴CO⊥AB，∴∠COB = 90°，∴∠OBF + ∠BFO = 90°，∴∠AED = ∠BFO，∴∠CEF = ∠CFE，∴CE = CF，故②正確；
③如圖，連接CD，∵點D是 $\overset{\frown}{AC}$ 的中點，點C是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中點，∴$\overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，∴CD = AD，AC = BC，∵AD + CD ＞ AC，∴2AD ＞ AC，∴2AD ＞ BC，故③錯誤；
④如圖，連接AF，∵C是半圓弧的中點，∴CO垂直平分AB，∴FA = FB，在Rt△ADF中，由勾股定理得 $AD^2 + DF^2 = AF^2$，∴$AD^2 + DF^2 = BF^2$，故④正確。
綜上所述，正確結論的序號是①②④。
14.「2024安徽中考,★☆」如圖,$\odot O是\triangle ABC$的外接圓,D是直徑AB上一點,$\angle ACD$的平分線交AB于點E,交$\odot O$于另一點F,FA= FE.
(1)求證：CD⊥AB.
(2)設FM⊥AB,垂足為M,若OM= OE= 1,求AC的長.
$4\sqrt{2}$
答案：解析 (1)證明：∵FA = FE，∴∠FAE = ∠AEF，∵∠FAE與∠BCE都是 $\overset{\frown}{BF}$ 所對的圓周角，∴∠FAE = ∠BCE，∵∠AEF = ∠CEB，∴∠CEB = ∠BCE，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE = ∠DCE?！逜B是直徑，∴∠ACB = 90°，∴∠CEB + ∠DCE = ∠BCE + ∠ACE = ∠ACB = 90°，∴∠CDE = 90°，∴CD⊥AB。
(2)由(1)知，∠BEC = ∠BCE，∴BE = BC，∵FA = FE，FM⊥AB，∴MA = ME = OM + OE = 2，∴AE = 4，∴圓的半徑OA = OB = AE - OE = 3，∴BC = BE = OB - OE = 2，在Rt△ABC中，AB = 6，BC = 2，∠ACB = 90°，∴AC = $\sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = 4\sqrt{2}$。
15.「★☆」如圖,拋物線$y= \frac{1}{4}x^{2}-4$與x軸交于A,B兩點,P是以點C(0,3)為圓心,2為半徑的圓上的動點,Q是線段PA的中點,連接OQ,則線段OQ的最大值為( )
A.3
B.$\frac{\sqrt{41}}{2}$
C.$\frac{7}{2}$
D.4
答案：C 如圖，連接BP，當y = 0時，$\frac{1}{4}x^2 - 4 = 0$，解得 $x_1 = 4$，$x_2 = -4$，∴A(-4,0)，B(4,0)。∵Q是線段PA的中點，∴OQ為△ABP的中位線，∴OQ = $\frac{1}{2}BP$?！喈擝P的值最大時，OQ的值最大，當BP過圓心C時，BP的值最大。如圖，當點P運動到P'的位置時，BP的值最大?！連C = $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，∴BP' = 5 + 2 = 7，∴線段OQ的最大值是 $\frac{7}{2}$。故選C。
