1.「2025 湖北武漢新洲月考」已知$\odot O$的半徑為3,P為$\odot O$所在平面內(nèi)某直線l上一點(diǎn),$OP = 3$,則過點(diǎn)P的直線PQ與$\odot O$的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為(
A
)
A.1或2
B.2
C.0
D.1
答案：A ∵⊙O的半徑為3，P為⊙O所在平面內(nèi)某直線l上一點(diǎn)，OP = 3，∴直線l與圓相切或相交，故公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1或2。故選A。
2.「2025 江蘇揚(yáng)州邗江月考」已知直線l與$\odot O$相離,圓心O到直線l的距離為5 cm,則$\odot O$的半徑可能為(
A
)
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
答案：A 設(shè)圓的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，∵直線l與⊙O相離，∴d＞r，又∵圓心O到直線l的距離為5cm，∴r＜5cm。故選A。
3.「2024 江蘇南京玄武月考」已知點(diǎn)$A(3,4)$,若以點(diǎn)A為圓心,3個(gè)單位長度為半徑作圓,則$\odot A$與x軸
相離
,$\odot A$與y軸
相切
.
答案：答案 相離；相切
解析 ∵A(3,4)，∴點(diǎn)A到x軸的距離為4＞3，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為3 = 3，∴⊙A與x軸相離，⊙A與y軸相切。
4.「2024 福建福州臺江月考」如圖,$∠AOB = 30^{\circ}$,$OM = 6$,那么以M為圓心,4為半徑的圓與射線OA的位置關(guān)系是____.
答案：答案 相交
解析 如圖，過M作MN⊥OA于點(diǎn)N，∵∠AOB = 30°，OM = 6，
∴MN = $\frac{1}{2}$MO = $\frac{1}{2}$×6 = 3＜4，
∴⊙M與射線OA相交。
5.「2024 甘肅蘭州城關(guān)期末,」已知$\odot O的半徑是一元二次方程x^{2}-7x + 12 = 0$的一個(gè)根,圓心O到直線l的距離$d = 3$,則直線l與$\odot O$的位置關(guān)系是(
D
)
A.相交
B.相切
C.相離或相切
D.相交或相切
答案：D ∵x2?7x + 12 = 0，∴x? = 3，x? = 4，設(shè)⊙O的半徑為r，∵⊙O的半徑為一元二次方程x2?7x + 12 = 0的根，
∴r = 3或r = 4，∵d = 3，∴當(dāng)r = 3時(shí)，d = r，此時(shí)直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切，當(dāng)r = 4時(shí)，d＜r，此時(shí)直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交。故選D。
6.「2024 河南許昌二模,」如圖,平面直角坐標(biāo)系中,$\odot P經(jīng)過三點(diǎn)A(8,0)$,$O(0,0)$,$B(0,6)$,點(diǎn)D是$\odot P$上的一動點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)D到弦OB的距離最大時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)是( )
A.$(9,3)$
B.$(9,6)$
C.$(10,3)$
D.$(10,6)$
答案：A ∵點(diǎn)A(8,0)，O(0,0)，B(0,6)，
∴OA = 8，OB = 6，
如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，作PF⊥OB于點(diǎn)F，延長FP交⊙P于點(diǎn)D，連接OP，此時(shí)點(diǎn)D到弦OB的距離最大，易得四邊形PFOE是矩形，
∴PF = OE = $\frac{1}{2}$OA = 4，OF = EP = $\frac{1}{2}$OB = 3，
∴OP = PD = $\sqrt{EP2 + OE2}$ = 5，
∴點(diǎn)D到弦OB的距離最大為PF + PD = 4 + 5 = 9，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(9,3)。
7.「2024 上海崇明二模,」已知在$Rt△ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,$AC = 12$,$BC = 5$,若以C為圓心,r為半徑的圓C與邊AB有交點(diǎn),那么r的取值范圍是( )
A.$5≤r≤12或r= \frac{60}{13}$
B.$5 ＜ r ＜ 12$
C.$\frac{60}{13} ＜ r ＜ 12$
D.$\frac{60}{13}≤r≤12$
答案：D 作CD⊥AB于D，如圖，
∵∠ACB = 90°，AC = 12，BC = 5，∴AB = $\sqrt{AC2 + BC2}$ = 13，
∵$\frac{1}{2}$CD·AB = $\frac{1}{2}$BC·AC，∴CD = $\frac{60}{13}$，
∴以C為圓心，r為半徑作的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)時(shí)，r的取值范圍為$\frac{60}{13}$≤r≤12。故選D。
8.「2024 四川綿陽安州期末,」如圖所示的是兩個(gè)同心圓,大圓的半徑為5,小圓的半徑為3,若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn),則弦AB的取值范圍是
8≤AB≤10
.
答案：答案 8≤AB≤10
解析 ∵大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，∴AB與小圓相切或相交，當(dāng)AB是大圓的直徑時(shí)AB的值最大，最大值為10。當(dāng)AB與小圓相切時(shí)AB的值最小，∵小圓的半徑為3，大圓的半徑為5，∴此時(shí)AB = 2×$\sqrt{52?32}$ = 8，∴8≤AB≤10。
9.「2025 甘肅武威涼州期末,」如圖,已知$\odot P$的半徑為3,圓心P在拋物線$y = \frac{1}{3}x^{2}-1$上運(yùn)動,當(dāng)$\odot P$與y軸相切時(shí),圓心P的坐標(biāo)為
(3,2)或(?3,2)
.
答案：答案 (3,2)或(?3,2)
解析 ∵⊙P與y軸相切，⊙P的半徑為3，
∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于3，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3或?3，
當(dāng)x = 3時(shí)，代入可得y = $\frac{1}{3}$×32?1 = 2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)；
當(dāng)x = ?3時(shí)，代入可得y = $\frac{1}{3}$×(?3)2?1 = 2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?3,2)。
綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)或(?3,2)。
故答案為(3,2)或(?3,2)。
10.「2024 北京海淀期末,」如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)$A(\sqrt{2},0)$為圓心,1為半徑畫圓,將$\odot A$繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$α(0^{\circ} ＜ α ＜ 180^{\circ})得到\odot A'$,使得$\odot A'$與y軸相切,則α的度數(shù)是____.
答案：答案 45°或135°
解析 如圖1，點(diǎn)A'在第一象限，設(shè)⊙A'與y軸相切于點(diǎn)B，連接OA'、BA'，由相切可知OB⊥A'B，∴∠A'BO = 90°，∵A($\sqrt{2}$,0)，∴OA = $\sqrt{2}$，由旋轉(zhuǎn)得OA' = OA = $\sqrt{2}$，∵⊙A的半徑為1，∴⊙A'的半徑為1，∴A'B = 1，∴OB = $\sqrt{OA'2?A'B2}$ = $\sqrt{(\sqrt{2})^{2}?1^{2}}$ = 1，∴A'B = OB，∴∠BOA' = ∠BA'O = 45°，∴α = ∠AOA' = 90°?45° = 45°；
如圖2，點(diǎn)A'在第二象限，設(shè)⊙A'與y軸相切于點(diǎn)C，連接OA'、CA'，由相切可知OC⊥A'C，∴∠A'CO = 90°，∵OA' = OA = $\sqrt{2}$，A'C = 1，∴OC = $\sqrt{OA'2?A'C2}$ = $\sqrt{(\sqrt{2})^{2}?1^{2}}$ = 1，∴A'C = OC，∴∠COA' = ∠CA'O = 45°，∴α = ∠AOA' = 90° + 45° = 135°。
綜上，α的度數(shù)為45°或135°。
