4.如圖,$△ABC$為等邊三角形,以$AB為邊向外作△ABD$,使$∠ADB= 120°$,再以點(diǎn)$C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE$,則下列結(jié)論：
①$D$,$A$,$E$三點(diǎn)共線(xiàn)；②$DC平分∠BDA$；③$∠E= ∠BAC$；④$DC= DB+DA$。
其中正確的有(
)
A.4個(gè)
B.3個(gè)
C.2個(gè)
D.1個(gè)
答案：A 如圖，①設(shè)∠1=$x^{\circ}$，則∠2=(60?$x$)°，∠DBC=($x$+60)°，故∠4=($x$+60)°，∴∠2+∠3+∠4=(60?$x$)°+60°+($x$+60)°=180°，∴D，A，E三點(diǎn)共線(xiàn)，故①正確；
②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△ACE，∴CE=CD，∠DCE=60°，∠BDC=∠E，∴△CDE為等邊三角形，∴∠CDA=∠E=60°，∴∠ADC=∠BDC=60°，∴DC平分∠BDA，故②正確；
③由題易知∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC，故③正確；
④由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AE=DB，∵△CDE為等邊三角形，∴DC=DE=AE+AD=DB+DA，故④正確。
綜上，正確的有4個(gè)。
5.如圖,已知四邊形$ABCD$的對(duì)角互補(bǔ),且$∠BAC= ∠DAC$,$AB= 15$,$AD= 12$。過(guò)頂點(diǎn)$C作CE⊥AB于E$,則$\frac{AE}{BE}$的值為( )
A.9
B.$\sqrt{73}$
C.7.2
D.6
答案：A 如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CEB=∠CFD?！摺螧AC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF?！咚倪呅蜛BCD的對(duì)角互補(bǔ)，∴∠B+∠ADC=180°?！摺螩DF+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDF，在△CEB和△CFD中，$\begin{cases}∠CEB=∠F\\∠B=∠CDF\\CE=CF\end{cases}$，∴△CEB≌△CFD(AAS)，∴BE=DF，在Rt△ACE和Rt△ACF中，$\begin{cases}AC=AC\\CE=CF\end{cases}$，∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，∴AE=AF。設(shè)BE=DF=$a$，∵AB=15，AD=12，AB=AE+EB=AF+EB，∴15=12+$a$+$a$，∴$a$=1.5，∴AE=15?$a$=15?1.5=13.5，BE=$a$=1.5，∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{13.5}{1.5}$=9，故選A。
6.方程思想如圖,已知正方形$ABCD$的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)$E$,$F分別是AB$,$BC$邊上的點(diǎn),且$∠EDF= 45°$,將$△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDM$。若$AE= 1$,則$MF$的長(zhǎng)為
$\frac{5}{2}$
。
答案：答案 $\frac{5}{2}$
解析 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A=∠DCM=90°，DE=DM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F，C，M三點(diǎn)共線(xiàn)。由題意得∠EDM=90°，即∠EDF+∠FDM=90°?！摺螮DF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°。在△DEF和△DMF中，$\begin{cases}DE=DM\\∠EDF=∠MDF\\DF=DF\end{cases}$，∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF=MF。設(shè)EF=MF=$x$，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM?MF=4?$x$，∵EB=AB?AE=3?1=2，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+(4?$x$)2=$x$2，解得$x$=$\frac{5}{2}$，∴MF=$\frac{5}{2}$。
7.如圖,在$△ABC$中,$∠BAC= 90°$,$AB= AC$,點(diǎn)$D$,$E都在BC$上,$∠DAE= 45°$,$BD= 3$,$CE= 5$,則$DE$的長(zhǎng)為_(kāi)___。
答案：答案 $\sqrt{34}$
解析 將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ACD'，使得AB與AC重合，如圖所示，連接ED'，
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABD≌△ACD'，∴CD'=BD=3，∠ACD'=∠B=45°，∴∠D'CE=∠ACD'+∠ACB=90°，∵CE=5，∴D'E=$\sqrt{EC^{2}+D'C^{2}}$=$\sqrt{34}$，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAD=∠CAD'，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠CAD'+∠DAC=90°，即∠DAD'=90°，又∵∠DAE=45°，∴∠D'AE=45°，∴∠DAE=∠D'AE，又AD=AD'，AE=AE，∴△ADE≌△AD'E(SAS)，∴DE=D'E=$\sqrt{34}$。
8.如圖所示,$△ABC$是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,$△BDC是頂角∠BDC為120°$的等腰三角形,以$D為頂點(diǎn)作∠MDN= 60°$,點(diǎn)$M$,$N分別在AB$,$AC$上,則$△AMN$的周長(zhǎng)為_(kāi)___。
答案：答案 2
解析 如圖，延長(zhǎng)AC至E，使得CE=BM，連接DE。∵△ABC是等邊三角形，且△BDC是頂角∠BDC為120°的等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，則∠ABD=∠DCE=90°，在△MBD和△ECD中，$\begin{cases}BM=CE\\∠MBD=∠DCE\\BD=CD\end{cases}$，∴△MBD≌△ECD(SAS)，∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠MDB+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=60°，即∠EDN=60°=∠MDN，在△MDN和△EDN中，$\begin{cases}MD=ED\\∠MDN=∠EDN\\DN=DN\end{cases}$，∴△MDN≌△EDN(SAS)，∴MN=EN，即MN=NC+CE=NC+BM，∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC=2。
