3.新考向?qū)嵺`探究題【問(wèn)題背景】學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在專(zhuān)題學(xué)習(xí)中遇到一個(gè)幾何問(wèn)題：如圖1,已知等邊$△ABC$,$D是△ABC$外一點(diǎn),連接$AD$、$CD$、$BD$,若$∠ADC= 30°$,$AD= 3$,$BD= 5$,求$CD$的長(zhǎng)。該小組在研究圖2中$△OMN≌△OPQ$時(shí)得到啟示,于是作出圖3,從而獲得了以下的解題思路,請(qǐng)你幫忙完善解題過(guò)程。
解：如圖3所示,以$DC為邊作等邊△CDE$,連接$AE$。
∵$△ABC和△DCE$都是等邊三角形,
∴$BC= AC$,$DC= EC$,$∠BCA= ∠DCE= 60°$。
∴$∠BCA+∠ACD= $____$+∠ACD$,
∴$∠BCD= ∠ACE$,
∴____,∴$AE= BD= 5$。
∵$∠ADC= 30°$,$∠CDE= 60°$,
∴$∠ADE= ∠ADC+∠CDE= 90°$。
∵$AD= 3$,∴$Rt△ADE$中,$DE= \sqrt{AE^{2}-AD^{2}}= 4$,
∴$CD= DE= $____。
【嘗試應(yīng)用】如圖4,在$△ABC$中,$∠ABC= 45°$,$AB= \sqrt{2}$,$BC= 4$,以$AC$為直角邊,$A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△ACD$,連接$BD$,求$BD$的長(zhǎng)。
【拓展創(chuàng)新】如圖5,在$△ABC$中,$AB= 4$,$AC= 8$,以$BC為邊向外作等腰△BCD$,$BD= CD$,$∠BDC= 120°$,連接$AD$,求$AD$的最大值。
答案：解析 [問(wèn)題背景]∠DCE；△BCD≌△ACE；4。
[嘗試應(yīng)用]如圖，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AEC，連接BE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AE，∠BAE=∠DAC=90°，∴∠EBA=45°，∵∠ABC=45°，∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°，在Rt△ABE中，∵AB=AE=$\sqrt{2}$，∴BE=$\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}$=2，在Rt△BEC中，∵BC=4，∴EC=$\sqrt{EB^{2}+BC^{2}}$=2$\sqrt{5}$，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=EC=2$\sqrt{5}$。
[拓展創(chuàng)新]如圖，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將△ACD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△BDF，連接AF，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=DF，∠ADF=120°，AC=BF，∴∠DAF=∠DFA=30°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AF，∴DE=$\frac{1}{2}$AD，AE=$\frac{1}{2}$AF，在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{DE^{2}+AE^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{2}AD)^{2}+(\frac{1}{2}AF)^{2}}$，化簡(jiǎn)得AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，∴當(dāng)AF取得最大值時(shí)，AD取得最大值，當(dāng)A、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，AF最大，∵AB=4，AC=8，∴AF的最大值為AB+BF=AB+AC=12，∴AD的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$×12=4$\sqrt{3}$。
