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答案：
C 如圖，連接$AC$，$\because$正方形$ABCD$繞點$A$逆時針旋轉(zhuǎn)$45^{\circ}$后得到正方形$AB'C'D'$，
$\therefore A$、$B'$、$C$三點共線，$AB'=AB=1$，$\angle AB'C'=\angle B=90^{\circ}$，$\because$四邊形$ABCD$為正方形，
$\therefore \angle BAC=\angle ACD=45^{\circ}$，$AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}$，
$\therefore \triangle OCB'$為等腰直角三角形，
$\because CB'=AC-AB'=\sqrt{2}-1$，$\therefore OB'=CB'=\sqrt{2}-1$，
$\therefore$四邊形$AB'OD$的面積$=S_{\triangle ADC}-S_{\triangle OCB'}=\frac{1}{2}\times 1\times 1-\frac{1}{2}\times (\sqrt{2}-1)\times (\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}-1$.故選C.

答案：
C 如圖，過點$A$作$AH\perp A'C$于$H$，$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\angle CAB=30^{\circ}$，$BC=1$，$\therefore \angle B=60^{\circ}$，$AB=2$，
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{3}$，$\because$將$\triangle ABC$繞點$C$順時針旋轉(zhuǎn)得到$\triangle A'B'C$，
$\therefore CB=CB'$，$\angle A'CB'=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle CB'B=60^{\circ}$，$\therefore \angle BCB'=60^{\circ}$，
易證$\angle ACH=\angle BCB'=60^{\circ}$，
$\because \angle AHC=90^{\circ}$，$\therefore \angle CAH=30^{\circ}$，$\therefore CH=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在$Rt\triangle ACH$中，由勾股定理得$AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=\frac{3}{2}$，$\therefore$點$A$到直線$A'C$的距離等于$\frac{3}{2}$.故選C.

答案：
D 如圖，連接$FD$，$\because$點$F$是$AC$的中點，四邊形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle DFC=90^{\circ}$，$DF=FC$，$\angle FDN=\angle FCM=45^{\circ}$，$\therefore \angle DFN+\angle NFC=90^{\circ}$，
$\because EF\perp FG$，$\therefore \angle MFC+\angle NFC=90^{\circ}$，$\therefore \angle DFN=\angle CFM$，$\therefore \triangle MFC\cong \triangle NFD(ASA)$，$\therefore S_{\triangle MFC}=S_{\triangle NFD}$，
$\therefore S_{四邊形FMCN}=S_{\triangle MFC}+S_{\triangle NFC}=S_{\triangle NFD}+S_{\triangle NFC}=S_{\triangle DFC}$，
$\because$正方形$ABCD$的邊長為$3$，$\therefore AC=3\sqrt{2}$，$\therefore FD=FC=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore S_{\triangle DFC}=\frac{1}{2}FD\cdot FC=\frac{1}{2}\times \frac{3\sqrt{2}}{2}\times \frac{3\sqrt{2}}{2}=2.25$，$\therefore$重疊部分的面積為$2.25$.故選D.

答案：
答案 $3$
解析 如圖，連接$PC$.在$Rt\triangle ABC$中，$\because \angle A=30^{\circ}$，$BC=2$，$\therefore AB=4$，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，$A'B'=AB=4$，$\because P$為$A'B'$的中點，$\triangle A'B'C$為直角三角形，$\therefore PC=\frac{1}{2}A'B'=2$，
$\because M$是$BC$的中點，$\therefore CM=\frac{1}{2}BC=1$，$\because PM\leqslant PC+CM=3$，
$\therefore$當(dāng)$P$、$C$、$M$共線，且$C$在$P$、$M$之間時，$PM$取得最大值，最大值為$3$.

答案：
答案 $\frac{12\sqrt{2}}{5}\leqslant PP'\leqslant 4\sqrt{2}$
解析 如圖，連接$PC$，$P'C$，過點$C$作$CH\perp AB$于$H$，$\because$將$\triangle ABC$繞點$C$順時針旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}$得到$\triangle A'B'C$，
$\therefore PC=P'C$，$\angle PCP'=90^{\circ}$，$\therefore PP'=\sqrt{2}CP$.
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{9 + 16}=5$，
$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=\frac{1}{2}\times 5CH$，$\therefore CH=\frac{12}{5}$，
$\because P$為邊$AB$上一動點，$\therefore$當(dāng)點$P$與點$B$重合時，$CP$有最大值，為$4$，此時$PP'$的值最大，為$4\sqrt{2}$，當(dāng)點$P$與點$H$重合時，$CP$有最小值，為$\frac{12}{5}$，此時$PP'$的值最小，為$\frac{12\sqrt{2}}{5}$，
$\therefore$線段$PP'$長度的取值范圍為$\frac{12\sqrt{2}}{5}\leqslant PP'\leqslant 4\sqrt{2}$.

答案：
答案 $6$或$42$
解析 分兩種情況:①當(dāng)$DE$在$AB$上方時，如圖1所示，$\because DE// AC$，$\therefore \angle D+\angle DAC=180^{\circ}$，
$\because \angle D=90^{\circ}$，$\therefore \angle DAC=90^{\circ}$.
$\because \angle C=\angle ABC=30^{\circ}$，$\therefore \angle BAC=120^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$，
$\therefore$在旋轉(zhuǎn)的過程中，第$30^{\circ}\div 5^{\circ}=6$(秒)時，邊$DE$所在直線與邊$AC$所在直線平行.
②當(dāng)$DE$在$AB$下方時，如圖2所示，
$\because DE// AC$，$\therefore \angle CAD=\angle D=90^{\circ}$，
$\because \angle C=\angle ABC=30^{\circ}$，$\therefore \angle BAC=120^{\circ}$，
$\therefore \triangle ADE$旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為$120^{\circ}+90^{\circ}=210^{\circ}$，
$\therefore$在旋轉(zhuǎn)的過程中，第$210^{\circ}\div 5^{\circ}=42$(秒)時，邊$DE$所在直線與邊$AC$所在直線平行.
綜上所述，第$6$或$42$秒時，邊$DE$所在直線與邊$AC$所在直線平行.

答案：B 如圖，過$P$作$PE\perp OA$于$E$，$PF\perp OB$于$F$，$\therefore \angle PEO=\angle PFO=90^{\circ}$，$\because OP$為$\angle AOB$的平分線，$\therefore \angle EOP=\angle FOP$，
又$\because OP=OP$，$\therefore \triangle POE\cong \triangle POF(AAS)$，$\therefore OE=OF$，$PE=PF$.
$\because \angle EPF+\angle AOB=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=180^{\circ}$，$\angle MPN+\angle AOB=180^{\circ}$，$\therefore \angle EPF=\angle MPN$，$\therefore \angle EPM=\angle FPN$；$\because \angle PEM=\angle PFN=90^{\circ}$，$\therefore \triangle PEM\cong \triangle PFN(ASA)$，
$\therefore EM=NF$，$PM=PN$，$\therefore OM+ON=OE+OF=$定值，故①正確.
$\because \triangle PEM\cong \triangle PFN$，$\therefore S_{\triangle PEM}=S_{\triangle PNF}$，$\therefore S_{四邊形PMON}=S_{四邊形PEOF}=$定值，故④正確.
設(shè)$\angle MPN=x^{\circ}$，$\because PM=PN$，$\therefore \angle PNM=\angle PMN=\frac{1}{2}\times (180^{\circ}-x^{\circ})=90^{\circ}-\frac{1}{2}x^{\circ}$，
$\because \angle AOB+\angle MPN=180^{\circ}$，$\therefore \angle AOB=180^{\circ}-x^{\circ}$，$\therefore \angle POB=\frac{1}{2}\times (180^{\circ}-x^{\circ})=90^{\circ}-\frac{1}{2}x^{\circ}$，$\therefore \angle PNM=\angle POB$，故②正確.
在旋轉(zhuǎn)過程中，$\triangle PMN$都是等腰三角形，且$\angle MPN$不變，$\because PM$的長度是變化的，$\therefore MN$的長度也是變化的，故③錯誤.
綜上所述，正確的結(jié)論是①②④，故選B.