10.「2024廣西中考」如圖,壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球,出手點(diǎn)(點(diǎn)P處)的高度OP是$\frac {7}{4}m$,出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行,到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),與出手點(diǎn)的水平距離是5m,距地面的高度是4m.若實(shí)心球落地點(diǎn)為M,則$OM= $____m.
答案：答案 $ \frac{35}{3} $
解析 如圖，以 $ O $ 為坐標(biāo)原點(diǎn)，$ OM $ 所在直線為 $ x $ 軸，$ OP $ 所在直線為 $ y $ 軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意可知 $ P \left( 0, \frac{7}{4} \right) $，$ B(5, 4) $，其中點(diǎn) $ B $ 為拋物線的頂點(diǎn). 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為 $ y = a(x - 5)^{2} + 4(a \neq 0) $，將 $ P \left( 0, \frac{7}{4} \right) $ 代入上式，解得 $ a = - \frac{9}{100} $，即拋物線的解析式為 $ y = - \frac{9}{100}(x - 5)^{2} + 4 $，$ \because M $ 為拋物線與 $ x $ 軸的交點(diǎn)，令 $ y = - \frac{9}{100}(x - 5)^{2} + 4 = 0 $，解得 $ x_{1} = \frac{35}{3} $，$ x_{2} = - \frac{5}{3} $（舍），$ \therefore OM = \frac{35}{3} \text{m} $.
11.「2024福建中考」(12分)如圖,已知二次函數(shù)$y= x^{2}+bx+c$的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中$A(-2,0),C(0,-2)$.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.
$y = x^{2} + x - 2$
(2)若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn),且點(diǎn)P在第二象限,線段PC交x軸于點(diǎn)D,$\triangle PDB的面積是\triangle CDB$面積的2倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
$(-3, 4)$
答案：解析
(1) 將 $ A(-2, 0) $，$ C(0, -2) $ 代入 $ y = x^{2} + bx + c $，得 $ \begin{cases} 4 - 2b + c = 0, \\ c = -2, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b = 1, \\ c = -2, \end{cases} $ $ \therefore $ 二次函數(shù)的表達(dá)式為 $ y = x^{2} + x - 2 $.
(2) 設(shè) $ P(m, n)(m ＜ 0, n ＞ 0) $，則 $ n = m^{2} + m - 2 $，$ \because C(0, -2) $，$ \therefore CO = 2 $. $ \because \triangle PDB $ 的面積是 $ \triangle CDB $ 面積的 2 倍，$ \therefore \frac{1}{2}BD \cdot n = 2 \times \frac{1}{2}BD \cdot CO $，$ \therefore n = 2CO = 4 $，則 $ m^{2} + m - 2 = 4 $，$ \therefore m_{1} = -3 $，$ m_{2} = 2 $（舍去），$ \therefore $ 點(diǎn) $ P $ 的坐標(biāo)為 $ (-3, 4) $.
12.「2024北京中考」(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線$y= ax^{2}-2a^{2}x(a≠0)$.
(1)當(dāng)$a= 1$時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)已知$M(x_{1},y_{1})和N(x_{2},y_{2})$是拋物線上的兩點(diǎn),若對(duì)于$x_{1}= 3a,3≤x_{2}≤4$,都有$y_{1}＜y_{2}$,求a的取值范圍.
答案：解析
(1) 把 $ a = 1 $ 代入 $ y = ax^{2} - 2a^{2}x $，得 $ y = x^{2} - 2x = (x - 1)^{2} - 1 $，$ \therefore $ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 $ (1, -1) $.
(2) $ \because - \frac{-2a^{2}}{2a} = a $，$ \therefore $ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 $ x = a $，分兩種情況討論：
① 當(dāng) $ a ＞ 0 $ 時(shí)，如圖，由 $ y_{1} ＜ y_{2} $ 可得 $ 3a ＜ 3 $，$ \therefore a ＜ 1 $，$ \therefore 0 ＜ a ＜ 1 $；
② 當(dāng) $ a ＜ 0 $ 時(shí)，如圖，由 $ y_{1} ＜ y_{2} $ 可得 $ 4 ＜ -a $，解得 $ a ＜ -4 $.
綜上，$ 0 ＜ a ＜ 1 $ 或 $ a ＜ -4 $.
13.「2024山東煙臺(tái)中考」(16分)每年5月的第三個(gè)星期日為全國助殘日,2024年的主題是“科技助殘,共享美好生活”.某公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,每輛輪椅盈利200元時(shí),每天可售出60輛;單價(jià)每降低10元,每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售,但每輛輪椅的利潤不低于180元.設(shè)每輛輪椅降價(jià)x元,每天的銷售利潤為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式.每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí),每天的銷售利潤最大?最大利潤為多少元?
(2)全國助殘日當(dāng)天,該公司共獲得銷售利潤12160元,請(qǐng)問這天售出了多少輛輪椅?
答案：解析
(1) $ y = (200 - x) \left( 60 + 4 \times \frac{x}{10} \right) = -0.4x^{2} + 20x + 12000 = -0.4(x - 25)^{2} + 12250 $，$ \therefore $ 函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線 $ x = 25 $，當(dāng) $ x ＜ 25 $ 時(shí)，$ y $ 隨 $ x $ 的增大而增大. $ \because 200 - x \geq 180 $，$ \therefore x \leq 20 $，$ \therefore $ 當(dāng) $ x = 20 $ 時(shí)，銷售利潤最大，最大利潤為 $ -0.4 \times (20 - 25)^{2} + 12250 = 12240 $（元）.
答：$ y $ 與 $ x $ 的函數(shù)關(guān)系式為 $ y = -0.4x^{2} + 20x + 12000 $；每輛輪椅降價(jià) 20 元時(shí)，每天的銷售利潤最大，為 12240 元.
(2) 由題意得 $ 12160 = -0.4(x - 25)^{2} + 12250 $，則 $ 0.4(x - 25)^{2} = 90 $，$ \therefore (x - 25)^{2} = 225 $. 解得 $ x_{1} = 40 $（不合題意，舍去），$ x_{2} = 10 $. $ \therefore $ 售出輪椅的輛數(shù)為 $ 60 + 4 \times \frac{10}{10} = 64 $.
答：這天售出了 64 輛輪椅.
