1.「2025吉林四平期末」已知拋物線$y= -(x-3)^{2}+\frac {1}{4}$,下列說法正確的是 (
C
)
A.開口向上
B.對(duì)稱軸是直線$x= -3$
C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(3,\frac {1}{4})$
D.當(dāng)$x＜-3$時(shí),y隨x的增大而減小
答案：C A. $a = -1 ＜ 0$，圖象開口向下，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B. 對(duì)稱軸是直線 $x = 3$，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C. 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 $ \left( 3, \frac{1}{4} \right) $，原說法正確，符合題意；D. 當(dāng) $x ＜ -3$ 時(shí)， $y$ 隨 $x$ 的增大而增大，原說法錯(cuò)誤，不符合題意. 故選 C.
2.「2024內(nèi)蒙古包頭中考」將拋物線$y= x^{2}+2x$向下平移2個(gè)單位后,所得新拋物線的頂點(diǎn)式為 (
A
)
A.$y= (x+1)^{2}-3$
B.$y= (x+1)^{2}-2$
C.$y= (x-1)^{2}-3$
D.$y= (x-1)^{2}-2$
答案：A $y = x^{2} + 2x = (x + 1)^{2} - 1$，將拋物線 $y = x^{2} + 2x$ 向下平移 2 個(gè)單位，得拋物線 $y = (x + 1)^{2} - 1 - 2$，$ \therefore $ 所得新拋物線的頂點(diǎn)式為 $y = (x + 1)^{2} - 3$. 故選 A.
3.「2024浙江寧波鄞州期中」拋物線$y= 2x^{2}-4x+1$與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 (
B
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B $ \because a = 2$，$b = -4$，$c = 1$，$ \therefore b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 \times 2 \times 1 = 8 ＞ 0$，$ \therefore $ 拋物線 $y = 2x^{2} - 4x + 1$ 與 $x$ 軸有 2 個(gè)交點(diǎn). $ \because x = 0$ 時(shí)，$y = 1$，$ \therefore $ 拋物線與 $y$ 軸有 1 個(gè)交點(diǎn)，$ \therefore $ 該拋物線與坐標(biāo)軸有 3 個(gè)交點(diǎn). 故選 B.
易錯(cuò)點(diǎn)：容易把坐標(biāo)軸錯(cuò)看成 $x$ 軸，從而漏掉與 $y$ 軸的交點(diǎn).
4.「2025黑龍江哈爾濱香坊期中」在同一平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)$y= ax^{2}+bx+c與一次函數(shù)y= ax+c$的大致圖象可能是(
C
)
答案：C 由題意得，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過 $y$ 軸上的點(diǎn) $ (0, c) $，$ \therefore $ 兩個(gè)函數(shù)圖象交于 $y$ 軸上的同一點(diǎn)，排除 A；當(dāng) $a ＞ 0$ 時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向上，直線經(jīng)過第一、三象限，排除 D；當(dāng) $a ＜ 0$ 時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向下，直線經(jīng)過第二、四象限，排除 B. 故選 C.
5.「2024四川廣安中考」如圖,二次函數(shù)$y= ax^{2}+bx+c$(a,b,c為常數(shù),$a≠0$)的圖象與x軸交于點(diǎn)
$A(-\frac {3}{2},0)$,對(duì)稱軸是直線$x= -\frac {1}{2}$,有以下結(jié)論:①$abc＜0$;②若點(diǎn)$(-1,y_{1})和點(diǎn)(2,y_{2})$都在拋物線上,則$y_{1}＜y_{2}$;③$am^{2}+bm≤\frac {1}{4}a-\frac {1}{2}b$(m為任意實(shí)數(shù));④$3a+4c= 0$.其中正確的有 (
B
)
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
答案：B $ \because $ 二次函數(shù)圖象開口向下，與 $y$ 軸交于正半軸，$ \therefore a ＜ 0$，$c ＞ 0$，$ \because - \frac{2a} = - \frac{1}{2} ＜ 0$，$ \therefore b ＜ 0$，$ \therefore abc ＞ 0$，故①錯(cuò)誤；$ \because $ 對(duì)稱軸是直線 $x = - \frac{1}{2} $，且 $ \left| -1 - \left( - \frac{1}{2} \right) \right| ＜ \left| 2 - \left( - \frac{1}{2} \right) \right| $，$ \therefore y_{1} ＞ y_{2} $，故②錯(cuò)誤；$ \because $ 當(dāng) $x = m$ 時(shí)，$y = am^{2} + bm + c$，當(dāng) $x = - \frac{1}{2}$ 時(shí)，函數(shù)取得最大值，為 $ \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + c $，$ \therefore $ 對(duì)于任意實(shí)數(shù) $m$，有 $am^{2} + bm + c \leq \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + c $，$ \therefore am^{2} + bm \leq \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b $，故③正確；$ \because - \frac{2a} = - \frac{1}{2} $，$ \therefore b = a $，$ \because $ 當(dāng) $x = - \frac{3}{2}$ 時(shí)，$y = 0$，$ \therefore \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 $，$ \therefore 9a - 6b + 4c = 0 $，即 $ 3a + 4c = 0 $，故④正確. 故選 B.
6.如圖1,在$\triangle ABC$中,$AB= 10,BC= 6,AC= 8$,點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止.過點(diǎn)P作$PM⊥AC$于點(diǎn)M,作$PN⊥BC$于點(diǎn)N,連接MN,線段MN的長(zhǎng)度y與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示,則函數(shù)圖象最低點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ( )
A.$(5,5)$
B.$(6,\frac {24}{5})$
C.$(\frac {32}{5},\frac {24}{5})$
D.$(\frac {32}{5},5)$
答案：C 如圖，過點(diǎn) $C$ 作 $CD \perp AB$ 于 $D$，連接 $CP$，$ \because $ 在 $ \triangle ABC $ 中，$AB = 10$，$BC = 6$，$AC = 8$，$ \therefore AC^{2} + BC^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100 = 10^{2} = AB^{2} $，$ \therefore \triangle ABC $ 是直角三角形，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CD $，$ \therefore CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{24}{5} $，$ \therefore AD = \sqrt{AC^{2} - CD^{2}} = \frac{32}{5} $. $ \because PM \perp AC $，$PN \perp BC $，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \therefore $ 四邊形 $CMPN$ 是矩形，$ \therefore MN = CP $，當(dāng)點(diǎn) $P$ 與點(diǎn) $D$ 重合時(shí)，$CP$ 的值最小，此時(shí) $MN$ 取最小值，為 $ \frac{24}{5} $，$AP = AD = \frac{32}{5} $，$ \therefore $ 點(diǎn) $E$ 的坐標(biāo)為 $ \left( \frac{32}{5}, \frac{24}{5} \right) $. 故選 C.
7.「2025江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)期中」若$y= (m-1)x^{|m|}+1$是關(guān)于x的二次函數(shù),且該函數(shù)圖象開口向下,則$m=$
$-2$
.
答案：答案 $-2$
解析 由題意得 $ |m| = 2 $，且 $ m - 1 ＜ 0 $，解得 $ m = -2 $.
8.「2024吉林長(zhǎng)春中考」若拋物線$y= x^{2}-x+c$(c是常數(shù))與x軸沒有交點(diǎn),則c的取值范圍是
$c ＞ \frac{1}{4}$
.
答案：答案 $ c ＞ \frac{1}{4} $
解析 由題意，得 $ \Delta = (-1)^{2} - 4c ＜ 0 $，$ \therefore c ＞ \frac{1}{4} $.
9.「2024河南新鄉(xiāng)長(zhǎng)垣期末」二次函數(shù)$y= ax^{2}+bx+c$的部分對(duì)應(yīng)值列表如下:
則一元二次方程$ax^{2}+bx+c= -7$的解為
$x_{1} = 0$，$x_{2} = 2$
.
答案：答案 $ x_{1} = 0 $，$ x_{2} = 2 $
解析 由題表可得，二次函數(shù) $ y = ax^{2} + bx + c $ 圖象的對(duì)稱軸為直線 $ x = \frac{-3 + 5}{2} = 1 $，當(dāng) $ x = 0 $ 時(shí)，$ y = -7 $，$ \therefore $ 當(dāng) $ x = 2 $ 時(shí)，$ y = -7 $，$ \therefore $ 一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = -7 $ 的解為 $ x_{1} = 0 $，$ x_{2} = 2 $.
