3. [2025山東濟南萊蕪期末]如圖,拋物線y= ax^2+bx+c過點A(-1,0),B(3,0),C(0,3).
(1)求拋物線的表達式.
(2)設(shè)P是直線BC上方拋物線上一點,求出△PBC的最大面積及此時點P的坐標(biāo).
(3)若點M是線段OC上的一動點,連接AM,求AM+$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM的最小值.
答案：解析 (1)∵拋物線y=ax2+bx+c過點A(?1,0),B(3,0),
∴拋物線的解析式為y=a(x?3)(x+1),把C(0,3)代入,得3=a(0?3)(0+1),解得a=?1,
故拋物線的解析式為y=?(x?3)(x+1)=?x2+2x+3.
(2)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n(k≠0),
將B(3,0),C(0,3)代入,得{3k + n = 0,n = 3,}解得{k = -1,n = 3,}
∴直線BC的解析式為y=?x+3,
如圖,連接PC,PB,過點P作y軸的平行線,交BC于Q,設(shè)P(m,?m2+2m+3),則Q(m,?m+3),
∴PQ=?m2+3m,
∴S△PBC=S△PCQ+S△BPQ=$\frac{1}{2}$PQ×(3 - 0)=-$\frac{3}{2}$(m - $\frac{3}{2}$)2 + $\frac{27}{8}$,
由此可得，當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時,S△PBC的最大值為$\frac{27}{8}$,
∵當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時,?m2+2m+3=$\frac{15}{4}$,
∴P($\frac{3}{2}$,$\frac{15}{4}$).
(3)∵B(3,0),C(0,3),∠COB=90°,
∴△COB為等腰直角三角形，∴∠OCB=45°.
如圖,過點M作MH⊥BC于點H,易得△CMH為等腰直角三角形，
∴MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM,
∴AM+$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM=AM+MH,
∵M為線段OC上的動點，∴H為線段BC上的動點，
過點A作AH'⊥BC于H',AH'交OC于M',
當(dāng)A,M,H三點共線,且AH⊥BC,即M在M'處,H在H'處時,AM+$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM有最小值,為AH'的長.
∵∠CBO=45°,∠AH'B=90°,
∴△AH'B為等腰直角三角形，
∴AH'=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$,即AM+$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM的最小值為2$\sqrt{2}$.
