1.「2023四川涼山州中考」如圖,已知拋物線與x軸交于A(1,0)和B(-5,0)兩點,與y軸交于點C,直線y= -3x+3過拋物線的頂點P.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式.
(2)若直線x= m(-5＜m＜0)與拋物線交于點E,與直線BC交于點F.
①當(dāng)EF取得最大值時,求m的值和EF的最大值.
②當(dāng)△EFC是等腰三角形時,求點E的坐標(biāo).
(1)拋物線的函數(shù)解析式為
y=-(x+2)2+9
（或
y=-x2-4x+5
）.
(2)①當(dāng)EF取得最大值時，m的值為
-5/2
，EF的最大值為
25/4
.
②當(dāng)△EFC是等腰三角形時，點E的坐標(biāo)為
(-4,5)
或
(√2-5,-2+6√2)
或
(-3,8)
.
答案：解析 (1)∵ 拋物線與x軸交于A(1,0)和B(-5,0)兩點,∴ 拋物線的對稱軸為直線$x=\frac{1-5}{2}=-2$,在y=-3x+3中,令x=-2得y=9,∴ 拋物線的頂點坐標(biāo)為(-2,9),設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為$y=a(x+2)^{2}+9$,將A(1,0)代入得0=9a+9,解得a=-1,∴ 拋物線的函數(shù)解析式為$y=-(x+2)^{2}+9=-x^{2}-4x+5$.
(2)①在$y=-x^{2}-4x+5$中,令x=0得y=5,∴ C(0,5),由B(-5,0),C(0,5)得直線BC的解析式為y=x+5,∴ E(m,$-m^{2}-4m+5$),F(m,m+5),∴ $EF=-m^{2}-4m+5-(m+5)=-m^{2}-5m=-(m+\frac{5}{2})^{2}+\frac{25}{4}$,∵ -1＜0,∴ 當(dāng)$m=-\frac{5}{2}$時,EF取最大值$\frac{25}{4}$,∴ m的值為$-\frac{5}{2}$,EF的最大值為$\frac{25}{4}$.
②∵ E(m,$-m^{2}-4m+5$),F(m,m+5),C(0,5),∴ $EF^{2}=(m^{2}+5m)^{2}$,$EC^{2}=m^{2}+(m^{2}+4m)^{2}$,$FC^{2}=2m^{2}$.若EF=EC,則$(m^{2}+5m)^{2}=m^{2}+(m^{2}+4m)^{2}$,解得m=0(不合題意,舍去)或m=-4,∴ E(-4,5).
若EF=FC,則$(m^{2}+5m)^{2}=2m^{2}$,解得m=0(舍去)或$m=\sqrt{2}-5$或$m=-\sqrt{2}-5$(不合題意,舍去),∴ $E(\sqrt{2}-5,-2+6\sqrt{2})$.
若EC=FC,則$m^{2}+(m^{2}+4m)^{2}=2m^{2}$,解得m=0(舍去)或m=-3或m=-5(不合題意,舍去),∴ E(-3,8).
綜上所述,點E的坐標(biāo)為(-4,5)或$(\sqrt{2}-5,-2+6\sqrt{2})$或(-3,8).
2.「2024安徽淮南田家庵期末」如圖,已知點C在y軸正半軸上,OC= 3,將線段OC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°到OB的位置,點A的橫坐標(biāo)為方程$x^2-1= 0$的一個解且點A,B在y軸兩側(cè).
(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的解析式.
$y=-x^{2}+2x+3$
(2)在拋物線的對稱軸直線l上是否存在點M,使△MAC為直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
存在，點M的坐標(biāo)為(1,1)或(1,2)或$(1,\frac{8}{3})$或$(1,-\frac{2}{3})$
答案：解析 (1)∵ 點C在y軸正半軸上,OC=3,∴ C(0,3).由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OB=OC=3,∴ B(3,0).∵ 解方程$x^{2}-1=0$得x=±1,∴ A(-1,0).設(shè)經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的解析式為$y=a(x+1)(x-3)(a≠0)$,把C(0,3)代入,得3=a(0+1)(0-3),解得a=-1,∴ 拋物線的解析式為$y=-(x+1)(x-3)=-x^{2}+2x+3$.
(2)存在.
在拋物線$y=-x^{2}+2x+3$中,對稱軸為直線$x=\frac{-1+3}{2}=1$.設(shè)M(1,m),∴ $AM^{2}=(-1-1)^{2}+(0-m)^{2}=m^{2}+4$,$CM^{2}=(0-1)^{2}+(3-m)^{2}=m^{2}-6m+10$,$AC^{2}=(-1-0)^{2}+(0-3)^{2}=10$.當(dāng)∠AMC=90°時,$AM^{2}+CM^{2}=AC^{2}$,∴ $m^{2}+4+m^{2}-6m+10=10$,解得m=1或m=2,∴ M?(1,1)或M?(1,2);
當(dāng)∠ACM=90°時,$AC^{2}+CM^{2}=AM^{2}$,∴ $10+m^{2}-6m+10=m^{2}+4$,解得$m=\frac{8}{3}$,∴ $M_{3}(1,\frac{8}{3})$;
當(dāng)∠CAM=90°時,$AC^{2}+AM^{2}=CM^{2}$,∴ $10+m^{2}+4=m^{2}-6m+10$,解得$m=-\frac{2}{3}$,∴ $M_{4}(1,-\frac{2}{3})$,
綜上所述,在拋物線的對稱軸直線l上存在點M,使△MAC為直角三角形,點M的坐標(biāo)為(1,1)或(1,2)或$(1,\frac{8}{3})$或$(1,-\frac{2}{3})$.
