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答案：
解析　(1)∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A(?1,0),B(3,0)兩點，
∴{?1 - b + c = 0,?9 + 3b + c = 0,}解得{b = 2,c = 3,}
∴拋物線的解析式為y=?x2+2x+3.
(2)如圖,過點P作PN⊥AB于點N,交BC于點M.
當x=0時,y=3,∴C(0,3).
∵B(3,0),C(0,3),∴直線BC的解析式為y=?x+3,∵OB=OC,∠BOC=90°,∴∠CBO=45°,

∵∠MNB=90°,∴∠PMQ=∠NMB=45°,∵PQ⊥BC,
∴△PQM是等腰直角三角形，
∴PM=$\sqrt{2}$PQ,∴PM的值最大時，PQ的值最大,設P(m,?m2+2m+3),則M(m,?m+3),
∴PM=?m2+2m+3?(?m+3)=-(m - $\frac{3}{2}$)2 + $\frac{9}{4}$,∵?1＜0,∴當m=$\frac{3}{2}$時，PM的值最大,為$\frac{9}{4}$,
∴PQ的最大值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$,此時P($\frac{3}{2}$,$\frac{15}{4}$).

答案：
解析　(1)把A(?1,0),C(0,?4)代入y=x2+bx+c得{c = -4,1 - b + c = 0,}解得{b = -3,c = -4,}
∴拋物線的表達式為y=x2?3x?4.
∵y=x2?3x?4=(x - $\frac{3}{2}$)2 - $\frac{25}{4}$,∴拋物線頂點D的坐標為($\frac{3}{2}$,-$\frac{25}{4}$).
(2)在y軸上存在一點M,使得△BDM的周長最小.
在y=x2?3x?4中,令y=0,得0=x2?3x?4,
解得x=4或x=?1,∴B(4,0),
如圖，連接BD,易知BD=$\sqrt{(4 - \frac{3}{2})2 + (-\frac{25}{4})2}$=$\frac{5\sqrt{29}}{4}$,
∴若使△BDM的周長最小，只需使DM+BM的值最小.
作D($\frac{3}{2}$,-$\frac{25}{4}$)關于y軸的對稱點D'(-$\frac{3}{2}$,-$\frac{25}{4}$),

連接BD'交y軸于M,連接DM,
則DM=D'M,∴DM+BM=D'M+BM=BD',
此時DM+BM的值最小，最小值為線段BD'的長，此時△BDM的周長也最小.
由B(4,0),D'(-$\frac{3}{2}$,-$\frac{25}{4}$)得直線BD'的解析式為y=$\frac{25}{22}$x - $\frac{50}{11}$,令x=0得y=-$\frac{50}{11}$,
∴點M的坐標為(0,-$\frac{50}{11}$).
(3)存在.
∵點B關于圖象對稱軸的對稱點為A(?1,0)，∴|BF?CF|=|AF?CF|≤AC,
∴當A,C,F三點共線時，|BF?CF|有最大值，為AC的長.
連接AC并延長交拋物線對稱軸于點F(圖略),則點F即為所求，
由A(?1,0),C(0,?4)得,直線AC的表達式為y=?4x?4,當x=$\frac{3}{2}$時,y=?10,
故點F($\frac{3}{2}$,-10).