5.「2024天津中考,★☆」從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(單位：m)與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系式是$h= 30t-5t^{2}(0≤t≤6)$.有下列結(jié)論：
①小球從拋出到落地需要6s；
②小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是30m；
③小球運(yùn)動(dòng)2s時(shí)的高度小于運(yùn)動(dòng)5s時(shí)的高度.
其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(
C
)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C ①令 $ h = 0 $，則 $ 30t - 5t^2 = 0 $，解得 $ t_1 = 0 $，$ t_2 = 6 $，$ \therefore $ 小球從拋出到落地需要 $ 6s $，故①正確；② $ h = 30t - 5t^2 = -5(t^2 - 6t) = -5(t - 3)^2 + 45 $，$ \because -5 ＜ 0 $，$ \therefore $ 當(dāng) $ t = 3 $ 時(shí)，$ h $ 有最大值，最大值為 $ 45 $，$ \therefore $ 小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是 $ 30m $，故②正確；③ $ t = 2 $ 時(shí)，$ h = 30 \times 2 - 5 \times 4 = 40 $，$ t = 5 $ 時(shí)，$ h = 30 \times 5 - 5 \times 25 = 25 $，$ \therefore $ 小球運(yùn)動(dòng) $ 2s $ 時(shí)的高度大于運(yùn)動(dòng) $ 5s $ 時(shí)的高度，故③錯(cuò)誤。故選 C。
6.「2022四川南充中考,★☆」如圖,水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管,水管噴頭噴出拋物線形水柱,噴頭上下移動(dòng)時(shí),拋物線形水柱隨之豎直上下平移,水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面.安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn),噴頭高2.5m時(shí),水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)2.5m,噴頭高4m時(shí),水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)3m,那么噴頭高_(dá)_____m時(shí),水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m.
答案：答案 8
解析 如圖，以 $ O $ 為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，當(dāng)噴頭高 $ 2.5m $ 時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為 $ y = ax^2 + bx + 2.5 $，將 $ (2.5, 0) $ 代入解析式得出 $ 6.25a + 2.5b + 2.5 = 0 $，整理得 $ 2.5a + b + 1 = 0 $ ①，當(dāng)噴頭高 $ 4m $ 時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為 $ y = ax^2 + bx + 4 $，將 $ (3, 0) $ 代入解析式得 $ 9a + 3b + 4 = 0 $ ②，聯(lián)立①②可求出 $ a = -\frac{2}{3} $，$ b = \frac{2}{3} $，設(shè)噴頭高為 $ h m $ 時(shí)，水柱落點(diǎn)距 $ O $ 點(diǎn) $ 4m $，$ \therefore $ 此時(shí)拋物線的解析式為 $ y = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + h $，將 $ (4, 0) $ 代入解析式可得 $ -\frac{2}{3} \times 4^2 + \frac{2}{3} \times 4 + h = 0 $，解得 $ h = 8 $。$ \therefore $ 當(dāng)噴頭高 $ 8m $ 時(shí)，水柱落點(diǎn)距 $ O $ 點(diǎn) $ 4m $。
7.「2024甘肅蘭州中考,★☆」在校園科技節(jié)期間,科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演,圖1是某型號(hào)水火箭的實(shí)物圖,水火箭發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是一條拋物線.為了解水火箭的相關(guān)性能,同學(xué)們進(jìn)一步展開研究.如圖2,建立平面直角坐標(biāo)系,水火箭發(fā)射后落在水平地面A處.科普員提供了該型號(hào)水火箭與地面成一定角度時(shí),從發(fā)射到著陸過程中,水火箭距離地面OA的豎直高度y(m)與離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離x(m)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如表：
(1)根據(jù)表格,求拋物線的表達(dá)式.
解：拋物線的表達(dá)式為
$ y = -\frac{1}{25}(x - 15)^2 + 9 $
.
(2)請計(jì)算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離為5m時(shí),水火箭距離地面的豎直高度.
解：水火箭距離地面的豎直高度為
5
m.
答案：解析 (1) 由題表可得，拋物線的對稱軸是直線 $ x = \frac{10 + 20}{2} = 15 $，$ \therefore $ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 $ (15, 9) $。$ \therefore $ 可設(shè)拋物線的表達(dá)式為 $ y = a(x - 15)^2 + 9 $。又 $ \because $ 拋物線過點(diǎn) $ (10, 8) $，$ \therefore 25a + 9 = 8 $，$ \therefore a = -\frac{1}{25} $。$ \therefore $ 拋物線的表達(dá)式為 $ y = -\frac{1}{25}(x - 15)^2 + 9 $。
(2) 由 (1) 得 $ y = -\frac{1}{25}(x - 15)^2 + 9 $，令 $ x = 5 $，則 $ y = -\frac{1}{25} \times (5 - 15)^2 + 9 = 5 $。$ \therefore $ 當(dāng) $ x = 5 $ 時(shí)，水火箭距離地面的豎直高度為 $ 5m $。
8.新 課標(biāo) 模型觀念「2025浙江杭州蕭山月考」如圖,同學(xué)們在操場上玩跳大繩游戲,繩甩到最高處時(shí)的形狀是拋物線,搖繩的兩名同學(xué)拿繩的手的間距為6米,到地面的距離AO與BD均為1.1米,當(dāng)繩子甩到最高點(diǎn)C處時(shí),最高點(diǎn)距地面的垂直距離為2.0米.身高為1.6米的小吉站在距點(diǎn)O水平距離為m米處,若他能夠正常跳大繩(繩子甩到最高時(shí)超過他的頭頂),則m的取值范圍是______.
答案：答案 $ 1 ＜ m ＜ 5 $
解析 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知 $ OD = 6 $，$ A(0, 1.1) $，$ B(6, 1.1) $，最高點(diǎn) $ C $ 的縱坐標(biāo)為 $ 2 $，$ \therefore $ 點(diǎn) $ C $ 的橫坐標(biāo)為 $ \frac{0 + 6}{2} = 3 $，$ \therefore C(3, 2) $，設(shè)拋物線的解析式為 $ y = a(x - 3)^2 + 2 $，把 $ A(0, 1.1) $ 代入解析式可得 $ a = -0.1 $，$ \therefore y = -0.1(x - 3)^2 + 2 $，當(dāng) $ y = 1.6 $ 時(shí)，$ -0.1(x - 3)^2 + 2 = 1.6 $，解得 $ x_1 = 1 $，$ x_2 = 5 $，$ \therefore m $ 的取值范圍是 $ 1 ＜ m ＜ 5 $。
