1.「2025安徽宣城月考」下圖是根據(jù)某拱橋形狀建立的平面直角坐標系,從中得到函數(shù)$y= -\frac {1}{25}x^{2}$,在正常水位時水面寬$AB= 30m$,當水位上升5m時,水面寬CD為(
D
)
A.8m
B.10m
C.15m
D.20m
答案：D 函數(shù) $ y = -\frac{1}{25}x^2 $ 的圖象的對稱軸為 $ y $ 軸，$ \because AB = 30 $，$ \therefore $ 點 $ A $ 的橫坐標為 $ -15 $，當 $ x = -15 $ 時，$ y = -\frac{1}{25} × (-15)^2 = -9 $，$ \therefore A(-15, -9) $，$ \therefore $ 點 $ C $ 的縱坐標為 $ -9 + 5 = -4 $。當 $ y = -\frac{1}{25}x^2 = -4 $ 時，$ x = -10 $ 或 $ x = 10 $，$ \therefore C(-10, -4) $，$ D(10, -4) $，$ \therefore CD = 10 - (-10) = 20(m) $。故選 D。
2.「2024吉林長春農(nóng)安期末」如圖,有一個橫截面邊緣為拋物線形的隧道入口,隧道入口處的底面寬度為8m,兩側(cè)距底面4m處各有一盞燈,兩燈間的水平距離為6m,則這個隧道入口的最大高度為______m(精確到0.1m).
答案：答案 9.1
解析 建立如圖所示的平面直角坐標系。由題意可知 $ A(-4, 0) $，$ B(4, 0) $，$ D(-3, 4) $。設拋物線的解析式為 $ y = ax^2 + c(a \neq 0) $，把 $ (4, 0) $，$ (-3, 4) $ 代入，得 $ \begin{cases} 16a + c = 0, \\ 9a + c = 4, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -\frac{4}{7}, \\ c = \frac{64}{7}, \end{cases} $ $ \therefore $ 該拋物線的解析式為 $ y = -\frac{4}{7}x^2 + \frac{64}{7} $，則 $ C(0, \frac{64}{7}) $，$ \therefore $ 這個隧道入口的最大高度為 $ \frac{64}{7}m \approx 9.1m $。
3.「2025湖北荊州江陵期中」隨著自動化設備的普及,家庭庭院也引入自動噴灌系統(tǒng).該系統(tǒng)中的噴灌器從噴水口噴出的水柱成拋物線形.下圖是噴灌器OA噴水時的示意圖,噴水口A點離地高度為0.25m,噴出的水柱在離噴水口水平距離為2m處達到最高點,最高點離地高度為0.45m,且水柱剛好落在庭院圍墻和地面的交界點B處,則噴灌器OA與圍墻的水平距離OB為( )
A.4m
B.4.5m
C.5m
D.5.5m
答案：C 以 $ O $ 為原點建立坐標系，如圖所示，設該拋物線的解析式為 $ y = a(x - 2)^2 + 0.45(a \neq 0) $，$ \because $ 點 $ (0, 0.25) $ 在該函數(shù)圖象上，$ \therefore 0.25 = a(0 - 2)^2 + 0.45 $，解得 $ a = -\frac{1}{20} $，即 $ y = -\frac{1}{20}(x - 2)^2 + 0.45 $，當 $ y = 0 $ 時，$ 0 = -\frac{1}{20}(x - 2)^2 + 0.45 $，解得 $ x_1 = 5 $，$ x_2 = -1 $（不符合題意，舍去），$ \therefore OB = 5m $。故選 C。
4.「2024吉林長春南關(guān)期末」小紅看到一處噴水景觀,噴出的水柱呈拋物線形,她對此展開研究：測得噴水頭P距地面1m,水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高,最高點距地面3.5m.建立如圖所示的平面直角坐標系,并設拋物線的表達式為$y= a(x-h)^{2}+k(a≠0)$,其中x(m)是水柱距噴水頭P的水平距離,y(m)是水柱距地面的高度.
(1)求拋物線的表達式.
答：拋物線的表達式為$y=$
$-\frac{1}{10}x^2 + x + 1$
.
(2)小紅站在水柱正下方且距噴水頭P的水平距離為4m,身高1.9m的哥哥在水柱下方走動,當哥哥的頭頂恰好接觸到水柱時,求小紅與哥哥的水平距離.
答：當哥哥的頭頂恰好接觸到水柱時，小紅與哥哥的水平距離是
$3m$或$5m$
.
答案：解析 (1) 由題意知，拋物線的頂點坐標為 $ (5, 3.5) $，則拋物線的表達式可表示為 $ y = a(x - 5)^2 + 3.5(a \neq 0) $，將 $ (0, 1) $ 代入得 $ 1 = 25a + 3.5 $，解得 $ a = -\frac{1}{10} $，$ \therefore y = -\frac{1}{10}(x - 5)^2 + 3.5 = -\frac{1}{10}x^2 + x + 1 $。
答：拋物線的表達式為 $ y = -\frac{1}{10}x^2 + x + 1 $。
(2) 當 $ y = 1.9 $ 時，$ -\frac{1}{10}x^2 + x + 1 = 1.9 $，解得 $ x = 1 $ 或 $ x = 9 $，$ \therefore $ 她與哥哥的水平距離為 $ 4 - 1 = 3(m) $ 或 $ 9 - 4 = 5(m) $。
答：當哥哥的頭頂恰好接觸到水柱時，小紅與哥哥的水平距離是 $ 3m $ 或 $ 5m $。
