1.「2024安徽合肥蜀山期中」某公司銷售一種成本為20元/盞的LED護(hù)眼臺(tái)燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn),若銷售單價(jià)為x元,則月銷售量為$(-10x+500)$盞.為使每月獲得的利潤最大,該臺(tái)燈應(yīng)定價(jià)為(
B
)
A.30元/盞
B.35元/盞
C.40元/盞
D.45元/盞
答案：B 設(shè)每月獲得的利潤為y元，根據(jù)題意，得$y=(x-20)(-10x+500)=-10x^{2}+700x-10000=-10(x-35)^{2}+2250$，$\because -10＜0$，$\therefore$當(dāng)$x=35$時(shí)，y取得最大值，為2250，$\therefore$為使每月獲得最大利潤，該臺(tái)燈應(yīng)定價(jià)為35元/盞.故選B.
2.某商店經(jīng)銷一種健身球,已知這種健身球的成本價(jià)為每個(gè)20元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該種健身球每天的銷售量y(個(gè))與銷售單價(jià)x(元)有如下關(guān)系:$y= -2x+80(20≤x≤40)$,設(shè)這種健身球每天的銷售利潤為w元.
(1)如果銷售單價(jià)定為25元,那么這種健身球每天的銷售量是
30
個(gè).
(2)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
$w=-2x^{2}+120x-1600$
(3)該種健身球的銷售單價(jià)定為多少元時(shí),每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?
該種健身球的銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是200元
答案：解析 (1)當(dāng)$x=25$時(shí)，$y=-2×25+80=30$.
(2)根據(jù)題意，得$w=(x-20)(-2x+80)=-2x^{2}+120x-1600$，
$\therefore$w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為$w=-2x^{2}+120x-1600$.
(3)$w=-2x^{2}+120x-1600=-2(x-30)^{2}+200$，
$\because -2＜0$，$\therefore$當(dāng)$x=30$時(shí)，w取最大值，最大值為200.
答：該種健身球的銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是200元.
3.「2024浙江溫州鹿城期中」某賓館有150間客房,當(dāng)客房價(jià)格為100元/間時(shí),每天都客滿.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)單間房價(jià)在100~200元(含100元,200元)浮動(dòng)時(shí),每提高10元,日均入住數(shù)減少6間.如果不考慮其他因素,為使客房的日營業(yè)收入最大,賓館可將每間客房價(jià)格提高(
B
)
A.100元
B.75元
C.50元
D.25元
答案：B 設(shè)賓館客房每間日租金提高10x元，則有6x間客房空出，設(shè)該賓館的客房租金總收入為y元，由題意可得$y=(100+10x)(150-6x)=-60(x-7.5)^{2}+18375(0≤10x≤100)$，$\because -60＜0$，$\therefore$當(dāng)$x=7.5$時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)$10x=10×7.5=75$，即賓館可將每間客房價(jià)格提高75元.故選B.
4.「2025山東威海文登期中」某款旅游紀(jì)念品很受游客喜愛,每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元,規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元,且不高于52元.某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn),當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí),每天可售出300個(gè),銷售單價(jià)每上漲2元,每天銷量減少20個(gè).將紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為
52
元時(shí),商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤最大.
答案：答案 52
解析 設(shè)商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤為w元，銷售單價(jià)為x元，則$w=(x-40)(300-20×\frac{x-44}{2})=(x-40)(-10x+740)=-10x^{2}+1140x-29600$，$\therefore$函數(shù)圖象對(duì)稱軸為直線$x=-\frac{2a}=57$.$\because -10＜0$，$44≤x≤52$，$\therefore$當(dāng)$x=52$時(shí)，w有最大值.$\therefore$應(yīng)將紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為52元.
5.「2024四川內(nèi)江中考」端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上肉粽的進(jìn)價(jià)比豆沙粽的進(jìn)價(jià)每盒多20元,某商家用5000元購進(jìn)的肉粽盒數(shù)與用3000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中,該商家發(fā)現(xiàn)肉粽每盒售價(jià)為52元時(shí),可售出180盒,每盒售價(jià)每提高1元,便少售出10盒.
(1)求肉粽、豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià).
(2)設(shè)肉粽每盒售價(jià)為x元$(52≤x≤70)$,y表示該商家銷售肉粽的利潤(單位:元),求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式并求出y的最大值.
答案：解析 (1)設(shè)肉粽每盒進(jìn)價(jià)為a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)為$(a-20)$元，由題意得$\frac{5000}{a}=\frac{3000}{a-20}$，解得$a=50$，
經(jīng)檢驗(yàn)，$a=50$是原分式方程的解，且符合實(shí)際意義，
此時(shí)$a-20=30$，
$\therefore$肉粽每盒進(jìn)價(jià)為50元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)為30元.
(2)由題意得，當(dāng)$x=52$時(shí)，每天可售出180盒，
當(dāng)肉粽每盒售價(jià)為x元$(52≤x≤70)$時(shí)，每天可售出$[180-10(x-52)]$盒，
$\therefore y=(x-50)[180-10(x-52)]=(x-50)(-10x+700)=-10x^{2}+1200x-35000=-10(x-60)^{2}+1000$，
$\because -10＜0$，$52≤x≤70$，
$\therefore$當(dāng)$x=60$時(shí)，y取最大值，為1000，
答：y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為$y=-10x^{2}+1200x-35000(52≤x≤70)$，且y的最大值為1000.
