9. 如圖1,放置兩個全等的含有30°角的直角三角尺ABC與DEF(∠B= ∠E= 30°).若將三角尺ABC向右以每秒1個單位長度的速度移動(點C與點E重合時移動終止),移動過程中始終保持點B,F,C,E在同一條直線上,如圖2,AB與DF,DE分別交于點P,M,AC與DE交于點Q,其中AC= DF= √3,設(shè)三角尺ABC的移動時間為x秒.
(1)在移動過程中,試用含x的代數(shù)式表示△AMQ的面積.
(2)當x等于多少時,兩個三角尺重疊部分的面積有最大值？最大值是多少？
答案：9.解析 (1)∵在Rt△ABC中，∠B = 30°，∴∠A = 60°.
∵∠E = 30°，∴∠EQC = ∠AQM = 60°，
∴△AMQ為等邊三角形，
如圖，過點M作MN⊥AQ，垂足為N.
在Rt△ABC中，∠B = 30°，AC = $\sqrt{3}$，則BC = 3，
∴EF = BC = 3.根據(jù)題意知CF = x，
∴CE = EF - CF = 3 - x，易得$CQ=\frac{\sqrt{3}}{3}(3 - x)$，
∴$AQ=AC - CQ=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}(3 - x)=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
∴$AM=AQ=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，∴$MN=\frac{1}{2}x$，
∴$S_{\triangle AMQ}=\frac{1}{2}AQ\cdot MN=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{3}x\cdot\frac{1}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{12}x^{2}$.
(2)由(1)知BF = CE = 3 - x，$PF=\frac{\sqrt{3}}{3}(3 - x)$，
設(shè)兩個三角尺重疊部分的面積為$S_{重疊}$，
∴$S_{重疊}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AMQ}-S_{\triangle BPF}=\frac{1}{2}AC\cdot BC - S_{\triangle AMQ}-\frac{1}{2}BF\cdot PF=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times3-\frac{\sqrt{3}}{12}x^{2}-\frac{1}{2}(3 - x)\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}(3 - x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}+\sqrt{3}x=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x - 2)^{2}+\sqrt{3}$，
∴當x = 2時，重疊部分面積有最大值，最大值是$\sqrt{3}$.
