1. [2025黑龍江大慶月考]用總長(zhǎng)度為12m的不銹鋼材料設(shè)計(jì)成如圖所示的外觀為矩形的框架,所有橫檔和豎檔分別與AD,AB平行,則矩形框架ABCD的最大面積為(
A
)
A.4m2
B.6m2
C.8m2
D.12m2
答案：1.A 設(shè)AB的長(zhǎng)為x m，則$AD=\frac{12 - 3x}{3}=(4 - x)m$，
$\therefore S_{矩形框架ABCD}=AB\cdot AD=-x^{2}+4x=-(x - 2)^{2}+4$，當(dāng)x = 2時(shí)，S取得最大值，為4，∴矩形框架ABCD的最大面積為4m2.故選A.
2. [2024安徽六安霍邱期中]如圖所示的是一個(gè)長(zhǎng)為20m,寬為16m的矩形花園,根據(jù)需要將它的長(zhǎng)縮短xm,寬增加xm,要想使修改后的花園面積達(dá)到最大,則x應(yīng)為(
C
)
A.1
B.1.5
C.2
D.4
答案：2.C 設(shè)修改后的花園面積為S m2，由題圖可得S = (20 - x)(16 + x)=-(x - 2)2 + 324，∴當(dāng)x = 2時(shí)，S取得最大值，為324.故選C.
3. 如圖,要在夾角為30°的兩條小路OA與OB形成的角狀空地上建一個(gè)三角形花壇,分別在邊OA和邊OB上取點(diǎn)P和點(diǎn)Q,并扎起籬笆將花壇保護(hù)起來(lái)(籬笆的厚度忽略不計(jì)).若OP和OQ兩段籬笆的總長(zhǎng)為60m,則該花壇(△POQ)面積的最大值為$______m^2.$
答案：3.答案 225
解析 如圖，過(guò)P作PC⊥OB于點(diǎn)C，設(shè)OP的長(zhǎng)為x m，△POQ的面積為S m2，則OQ的長(zhǎng)為(60 - x)m，
∵∠POQ = 30°，∴$PC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}x m$，∴$S=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}x\cdot(60 - x)=-\frac{1}{4}(x - 30)^{2}+225(0 ＜ x ＜ 60)$，∴當(dāng)x = 30時(shí)，S取得最大值，為225，即當(dāng)OP的長(zhǎng)為30m時(shí)，△POQ的面積最大，為225m2.
4. [2024甘肅定西期中]在邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F,G,H分別按A→B,B→C,C→D,D→A的方向同時(shí)出發(fā),以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng).寫出四邊形EFGH的面積$S(cm^2)$關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)變化的函數(shù)關(guān)系式
$S=2(t-3)^2+18$
,并求運(yùn)動(dòng)
3
秒時(shí),四邊形EFGH的面積最小,最小值是
18
$cm^2$.
答案：4.解析 由題意可知AE = t cm，則EB = (6 - t)cm，則$S = 6^{2}-\frac{1}{2}t(6 - t)×4=2(t - 3)^{2}+18$，∵0≤t≤6，2＞0，∴當(dāng)t = 3時(shí)，S取得最小值，此時(shí)S = 18，∴運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，四邊形EFGH的面積最小，最小值是18cm2.
5. [2025山西大同期中]某年教師節(jié)的主題是“大力弘揚(yáng)教育家精神,加快建設(shè)教育強(qiáng)國(guó)”,為慶祝節(jié)日,學(xué)校為教師定制了水杯,下圖是定制的水杯包裝盒的表面展開(kāi)圖,設(shè)包裝盒的高為xcm.
(1)若此包裝盒的容積為$1500cm^3,$請(qǐng)列出關(guān)于x的方程,并求出x的值.
列出的方程為
15x(20 - x)=1500
，x的值為
10
.
(2)是否存在這樣的x,使得此包裝盒的容積為$1560cm^3？$若存在,請(qǐng)求出相應(yīng)的x的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
不存在
，理由：假設(shè)存在這樣的x，則15x(20 - x)=1560，整理得x2 - 20x + 104 = 0.∵Δ = (-20)2 - 4×1×104 = -16＜0，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴不存在這樣的x，使得此包裝盒的容積為1560cm3.
答案：5.解析 (1)由題圖得，包裝盒的長(zhǎng)為$\frac{40 - 2x}{2}=(20 - x)cm$，高為x cm，寬為15 cm，∵此包裝盒的容積為1500cm3，∴15x(20 - x)=1500，解得x? = x? = 10，∴x的值為10.
(2)[解法一]利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答:不存在.理由:設(shè)該包裝盒的容積為y cm3，依題意得y = (20 - x)×15x=-15(x - 10)2 + 1500.∵-15＜0，∴當(dāng)x = 10時(shí)，此包裝盒的容積最大，為1500cm3，∴不存在這樣的x，使得此包裝盒的容積為1560cm3.
[解法二]利用一元二次方程根的判別式解答:不存在.理由:假設(shè)存在這樣的x，則15x(20 - x)=1560，整理得x2 - 20x + 104 = 0.
∵Δ = (-20)2 - 4×1×104 = -16＜0，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴不存在這樣的x，使得此包裝盒的容積為1560cm3.
