1. [2025山東德州德城期中]函數(shù)$y = ax + b(a \neq 0)與y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是 (
B
)
答案：B A. 由拋物線可知 $ a ＞ 0 $，$ b ＜ 0 $，由直線可知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，矛盾，故本選項(xiàng)錯誤；B. 由拋物線可知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，由直線可知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，故本選項(xiàng)正確；C. 由拋物線可知 $ a ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $，由直線可知 $ a ＜ 0 $，$ b ＜ 0 $，矛盾，故本選項(xiàng)錯誤；D. 由拋物線可知 $ a ＜ 0 $，$ b ＜ 0 $，由直線可知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，矛盾，故本選項(xiàng)錯誤. 故選 B.
2. 在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)$y = cx + a與二次函數(shù)y = ax^{2}+bx + c$的圖象可能是 (
C
)
答案：C A 項(xiàng)，由拋物線得 $ a ＜ 0 $，$ c ＞ 0 $，由直線得 $ c ＜ 0 $，$ a ＜ 0 $，矛盾；B 項(xiàng)，由拋物線得 $ a ＜ 0 $，$ c ＜ 0 $，由直線得 $ c ＞ 0 $，$ a ＞ 0 $，矛盾；C 項(xiàng)，由拋物線得 $ a ＞ 0 $，$ c ＜ 0 $，由直線得 $ c ＜ 0 $，$ a ＞ 0 $，符合題意；D 項(xiàng)，由拋物線得 $ a ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，由直線得 $ c ＞ 0 $，$ a ＜ 0 $，矛盾. 故選 C.
3. [2024山東泰安中考]如圖所示的是二次函數(shù)$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的部分圖象,該函數(shù)圖象的對稱軸是直線$x = 1$,圖象與$y$軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2.則下列結(jié)論:①$2a + b = 0$;②方程$ax^{2}+bx + c = 0$一定有一個根在-2和-1之間;③方程$ax^{2}+bx + c - \frac{3}{2} = 0$一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;④$b - a ＜ 2$.其中正確結(jié)論的個數(shù)是 (
B
)
答案：B ∵ 拋物線的對稱軸為直線 $ x = 1 $，∴ $ -\frac{2a} = 1 $，∴ $ b = -2a $，∴ $ 2a + b = 0 $，故①正確；∵ 拋物線 $ y = ax^2 + bx + c $ 與 $ x $ 軸的一個交點(diǎn)在 $ (2, 0) $ 和 $ (3, 0) $ 之間，對稱軸為直線 $ x = 1 $，∴ 拋物線與 $ x $ 軸的另一個交點(diǎn)在 $ (-1, 0) $ 和 $ (0, 0) $ 之間，∴ 方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 一定有一個根在 $ -1 $ 和 $ 0 $ 之間，故②錯誤；∵ 拋物線 $ y = ax^2 + bx + c $ 與直線 $ y = \frac{3}{2} $ 有兩個交點(diǎn)，∴ 方程 $ ax^2 + bx + c - \frac{3}{2} = 0 $ 一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；∵ 拋物線與 $ x $ 軸的一個交點(diǎn)在 $ (-1, 0) $ 和 $ (0, 0) $ 之間，∴ 當(dāng) $ x = -1 $ 時，$ y = a - b + c ＜ 0 $，∵ 圖象與 $ y $ 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 $ 2 $，∴ $ c = 2 $，∴ $ a - b + 2 ＜ 0 $，∴ $ b - a ＞ 2 $，故④錯誤. 故選 B.
4. [2024黑龍江綏化中考]二次函數(shù)$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的部分圖象如圖所示,對稱軸為直線$x = -1$,則下列結(jié)論:①$\frac{c} ＞ 0$;②$am^{2}+bm \leq a - b$(m為任意實(shí)數(shù));③$3a + c ＜ 1$;④若$M(x_{1},y),N(x_{2},y)$是拋物線上不同的兩個點(diǎn),則$x_{1}+x_{2} \leq -3$.其中正確的結(jié)論有 (
B
)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
答案：B 由題圖得拋物線開口向下，∴ $ a ＜ 0 $，∵ 拋物線的對稱軸是直線 $ x = -\frac{2a} = -1 $，∴ $ b = 2a ＜ 0 $. ∵ 拋物線交 $ y $ 軸于正半軸，∴ 當(dāng) $ x = 0 $ 時，$ y = c ＞ 0 $，∴ $ \frac{c} ＜ 0 $，故①錯誤. 由題意得，當(dāng) $ x = -1 $ 時，$ y $ 取最大值，為 $ a - b + c $，∴ 對于拋物線上任意的點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值 $ y ≤ a - b + c $. 對于任意實(shí)數(shù) $ m $，當(dāng) $ x = m $ 時，$ y = am^2 + bm + c ≤ a - b + c $，∴ $ am^2 + bm ≤ a - b $，故②正確. 由圖象可得，當(dāng) $ x = 1 $ 時，$ y = a + b + c ＜ 0 $，又 ∵ $ b = 2a $，∴ $ 3a + c ＜ 0 ＜ 1 $，故③正確. ∵ 點(diǎn) $ M $，$ N $ 的縱坐標(biāo)相等，∴ 點(diǎn) $ M $，$ N $ 關(guān)于直線 $ x = -1 $ 對稱，∴ $ x_1 + x_2 = -2 ＞ -3 $，故④錯誤. 綜上，正確的結(jié)論有②③，共 2 個. 故選 B.
5. 如圖所示的是二次函數(shù)$y = ax^{2}+bx + c$的部分圖象,則不等式$ax^{2}+bx + c ＜ 0$的解集是 (
C
)
A.$x ＜ -1$ B.$x ＞ 5$ C.$x ＜ -1或x ＞ 5$ D.$-1 ＜ x ＜ 5$
答案：C 由題圖可知，對稱軸為直線 $ x = 2 $，∵ 拋物線與 $ x $ 軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為 $ (5, 0) $，∴ 拋物線與 $ x $ 軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為 $ (-1, 0) $，又 ∵ 拋物線開口向下，∴ 不等式 $ ax^2 + bx + c ＜ 0 $ 的解集是 $ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 5 $. 故選 C.
6. 如圖,直線$y_{1} = kx + m與二次函數(shù)y_{2} = ax^{2}+bx + c(a ＞ 0)的圖象交于點(diǎn)A(-2,3)和點(diǎn)B(2,-1)$,若$y_{2} ＜ y_{1} ＜ 0$,則$x$的取值范圍是
1＜x＜2
.
答案：答案 $ 1 ＜ x ＜ 2 $
解析 將 $ (-2, 3) $，$ (2, -1) $ 代入 $ y_1 = kx + m $ 得 $ \begin{cases} 3 = -2k + m \\ -1 = 2k + m \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -1 \\ m = 1 \end{cases} $，∴ $ y_1 = -x + 1 $，令 $ y_1 = 0 $，則 $ -x + 1 = 0 $，解得 $ x = 1 $，∴ 直線 $ y_1 $ 與 $ x $ 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 $ (1, 0) $，∴ 由圖象可知 $ y_2 ＜ y_1 ＜ 0 $ 時，$ 1 ＜ x ＜ 2 $.
7. 如圖,已知拋物線經(jīng)過$(-2,-3)和(3,-3)$兩點(diǎn),如果點(diǎn)$(1,y_{1})與(2,y_{2})$在此拋物線上,那么$y_{1}$
＞
$y_{2}$.(填“＞”“＜”或“=”)
答案：答案 $ ＞ $
解析 ∵ 拋物線經(jīng)過 $ (-2, -3) $ 和 $ (3, -3) $ 兩點(diǎn)，∴ 拋物線的對稱軸為直線 $ x = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2} $，∵ 拋物線的開口向下，$ \left| 1 - \frac{1}{2} \right| ＜ \left| 2 - \frac{1}{2} \right| $，∴ $ y_1 ＞ y_2 $.
8. [2024浙江臺州溫嶺期中]二次函數(shù)$y = x^{2}+bx + c$的圖象如圖所示,若其圖象上有三點(diǎn)$A(-3,y_{1})$,$B(0,y_{2})$,$C(2,y_{3})$,則$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小關(guān)系是
$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
.
答案：答案 $ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
解析 由題圖可得，拋物線的對稱軸為直線 $ x = -2 $，∵ 拋物線開口向上，∴ 拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，又 ∵ $ | -3 - (-2) | ＜ | 0 - (-2) | ＜ | 2 - (-2) | $，∴ $ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $.
