12. [2022黑龍江大慶中考]已知函數(shù)$y= mx^{2}+3mx+m-1$的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的值為
1或 - $\frac{4}{5}$
.
答案：答案1或 - $\frac{4}{5}$
解析 當(dāng)m = 0時(shí)，y = - 1，圖象與坐標(biāo)軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意。當(dāng)m ≠ 0時(shí)，∵函數(shù)y = mx2 + 3mx + m - 1的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴①過坐標(biāo)原點(diǎn)，m - 1 = 0，∴m = 1（經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意），②與x軸、y軸各有一個(gè)公共點(diǎn)，Δ = 0，即(3m)2 - 4m(m - 1) = 0，解得m = 0（舍去）或m = - $\frac{4}{5}$（經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意）。綜上所述，m的值為1或 - $\frac{4}{5}$。
13. [2025北京海淀期中]如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線$y= 3x^{2}+bx+c$與x軸交于A,B兩點(diǎn),且$AB= 4$.若將此拋物線先向左平移2個(gè)單位,再向下平移m個(gè)單位,所得新拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8,則m的值為(
D
)
A. 6
B. 2
C. 24
D. 36
答案：D 當(dāng)y = 0時(shí)，設(shè)3x2 + bx + c = 0的兩根為x?、x?，則x? + x? = - $\frac{3}$，x?·x? = $\frac{c}{3}$，∵AB = 4，∴|x? - x?| = 4，∴(x? - x?)2 = (x? + x?)2 - 4x?x? = 16，∴b2 - 12c = 144，∵拋物線平移后所得新拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，即當(dāng)y = m時(shí)，拋物線上兩點(diǎn)之間的距離為8。設(shè)3x2 + bx + c = m的兩根為x?、x?，則x? + x? = - $\frac{3}$，x?·x? = $\frac{c - m}{3}$，|x? - x?| = 8，∴(x? - x?)2 = (x? + x?)2 - 4x?x? = 64，∴b2 - 12(c - m) = b2 - 12c + 12m = 576，∵b2 - 12c = 144，∴144 + 12m = 576，解得m = 36。故選D。
14. 如圖,已知拋物線$y= ax^{2}+bx+c(a,b,c$為常數(shù),$a≠0)$交x軸于$A(1,0)$、$B(3,0)$兩點(diǎn),交y軸于$C(0,3)$,將該拋物線位于直線$y= m$(m為常數(shù),$m≥0$)下方的部分沿直線$y= m$翻折,其余部分不變,得到的新圖象記為“圖象W”.
(1)求翻折前拋物線的表達(dá)式.
(2)若$m= 0$,直線$y= x+n$與圖象W有三個(gè)交點(diǎn),求n的值.
(1)翻折前拋物線的表達(dá)式為$y=$
$x2 - 4x + 3$
。
(2)n的值是
$-1$
或
$-\frac{3}{4}$
。
答案：解析 （1）由題意得$\begin{cases}a + b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\b = - 4 \\c = 3\end{cases}$
∴翻折前拋物線的表達(dá)式為y = x2 - 4x + 3。
（2）當(dāng)m = 0，且直線y = x + n與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，存在兩種情況：
①當(dāng)直線y = x + n過點(diǎn)A時(shí)，與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)n = - 1；
②當(dāng)直線y = x + n與圖象W位于線段AB正上方的部分僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x + n = - x2 + 4x - 3，即x2 - 3x + n + 3 = 0，則Δ = ( - 3)2 - 4×1×(n + 3) = 0，∴n = - $\frac{3}{4}$。
綜上，n的值是 - 1或 - $\frac{3}{4}$。
1. [2025江蘇鹽城期中]已知點(diǎn)$(-2,5),(4,5)$是拋物線上的兩點(diǎn),則此拋物線的對稱軸為____
直線x = 1
.
答案：答案直線x = 1
解析 ∵點(diǎn)( - 2,5)，(4,5)的縱坐標(biāo)相同，∴兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴拋物線的對稱軸為直線x = $\frac{- 2 + 4}{2}$ = 1。
2. [2025山東濱州濱城期中]已知二次函數(shù)$y= 2025x^{2}+k的圖象上有兩個(gè)不同點(diǎn)M(t_{1},4),N(t_{2},4)$,則$2025t_{1}+2025t_{2}= $
0
.
答案：答案0
解析 ∵y = 2025x2 + k，∴拋物線的對稱軸為y軸，∵M(jìn)(t?,4)，N(t?,4)的縱坐標(biāo)相等，∴點(diǎn)M、N關(guān)于y軸對稱，∴t? + t? = 0，∴2025t? + 2025t? = 2025(t? + t?) = 0。
3. [2025浙江金華義烏月考改編]已知二次函數(shù)$y= x^{2}+bx+c$中,函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：
若$A(m,y_{1}),B(m+2,y_{2})$兩點(diǎn)都在該函數(shù)的圖象上,則當(dāng)$m= $
1
時(shí),$y_{1}= y_{2}$.
答案：答案1
解析 ∵x = 0時(shí)，y = 5；x = 4時(shí)，y = 5，∴該拋物線的對稱軸為直線x = 2，∵A(m,y?)，B(m + 2,y?)兩點(diǎn)都在該函數(shù)的圖象上，且y? = y?，∴$\frac{m + m + 2}{2}$ = 2，解得m = 1。
4. [2023山東青島十三中一模]已知二次函數(shù)$y= a(x-2)^{2}-3$的部分圖象如圖所示,若$y≤0$,則x的取值范圍為
-1 ≤ x ≤ 5
.
答案：答案 - 1 ≤ x ≤ 5
解析 ∵y = a(x - 2)2 - 3，∴拋物線的對稱軸為直線x = 2，∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為( - 1,0)，( - 1,0)關(guān)于直線x = 2對稱的點(diǎn)為(5,0)，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(5,0)，∴y ≤ 0時(shí)，x的取值范圍是 - 1 ≤ x ≤ 5。故答案為 - 1 ≤ x ≤ 5。
