1. [2025云南昆明一模]拋物線$y= -x^{2}+bx+3$的部分圖象如圖所示,則一元二次方程$-x^{2}+bx+3= 0$的根為(
D
)
A. $x_{1}= x_{2}= 1$
B. $x_{1}= 1,x_{2}= -1$
C. $x_{1}= 1,x_{2}= -2$
D. $x_{1}= 1,x_{2}= -3$
答案：D [解法一]∵拋物線的對稱軸為直線x = - 1，與x軸的一個交點為(1,0)，∴拋物線與x軸的另外一個交點為( - 3,0)，∴一元二次方程 - x2 + bx + 3 = 0的根為x? = 1，x? = - 3。故選D。
[解法二]由圖象可設(shè)一元二次方程 - x2 + bx + 3 = 0的根為x? = 1，x?，則x?x? = - 3，解得x? = - 3，∴一元二次方程 - x2 + bx + 3 = 0的根為x? = 1，x? = - 3。故選D。
[解法三]將(1,0)代入拋物線解析式中得 - 1 + b + 3 = 0，∴b = - 2，∴y = - x2 - 2x + 3，令y = 0，則 - x2 - 2x + 3 = 0，解得x? = 1，x? = - 3，∴一元二次方程 - x2 + bx + 3 = 0的根為x? = 1，x? = - 3。故選D。
2. [2025浙江杭州月考]拋物線$y= -(x-4)^{2}+3$與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)為(
D
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：D [解法一]當(dāng)y = 0時，得 - (x - 4)2 + 3 = 0，即x2 - 8x + 13 = 0，此時Δ = ( - 8)2 - 4×1×13 = 12 ＞ 0，∴拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)x = 0時，y = - 13，∴拋物線與y軸有1個交點，∴拋物線與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)為3。故選D。
[解法二]拋物線y = - (x - 4)2 + 3開口向下，頂點坐標(biāo)為(4,3)，∴拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)x = 0時，y = - 13，∴拋物線與y軸有1個交點，∴拋物線與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)為3。故選D。
3. [2023浙江寧波北侖期中]二次函數(shù)$y= x^{2}+2x-8$的圖象與x軸的兩個交點之間的距離為
6
.
答案：答案6
解析 令x2 + 2x - 8 = 0，解得x = 2或x = - 4，即函數(shù)圖象和x軸交點的坐標(biāo)分別為(2,0)，( - 4,0)，故兩交點之間的距離為6。
4. [2024寧夏中考]若二次函數(shù)$y= 2x^{2}-x+m$的圖象與x軸有交點,則m的取值范圍是
m ≤ $\frac{1}{8}$
.
答案：答案m ≤ $\frac{1}{8}$
解析 ∵二次函數(shù)y = 2x2 - x + m的圖象與x軸有交點，∴Δ = ( - 1)2 - 4×2m ≥ 0，解得m ≤ $\frac{1}{8}$，即m的取值范圍為m ≤ $\frac{1}{8}$。
5. [2025浙江寧波鎮(zhèn)海期中]如圖所示的是二次函數(shù)$y= ax^{2}+bx+c$的圖象,則不等式$ax^{2}+bx+c＜3$的解集是(
D
)
A. $-1＜x＜3$
B. $x＜-1或x＞3$
C. $0＜x＜2$
D. $x＜0或x＞2$
答案：D 由題圖可知二次函數(shù)y = ax2 + bx + c的圖象的對稱軸為直線x = 1，與y軸的交點坐標(biāo)為(0,3)，由二次函數(shù)圖象的對稱性可知，點(2,3)也在函數(shù)y = ax2 + bx + c的圖象上。由題圖可知，當(dāng)x ＜ 0或x ＞ 2時，對應(yīng)的y值小于3，因此ax2 + bx + c ＜ 3的解集為x ＜ 0或x ＞ 2。故選D。
6. [2025浙江杭州西湖期中]如圖,拋物線$y= ax^{2}+c(a≠0)與直線y= mx+n(m≠0)交于A(-1,p),B(3,q)$兩點,則不等式$ax^{2}-mx+c＞n$的解集是
x＜-1或x＞3
.
答案：答案x ＜ - 1或x ＞ 3
解析 ∵拋物線y = ax2 + c與直線y = mx + n交于A( - 1,p)，B(3,q)兩點，∴ax2 + c ＞ mx + n的解集是x ＜ - 1或x ＞ 3，∴ax2 - mx + c ＞ n的解集是x ＜ - 1或x ＞ 3。
7. [2025湖北恩施期中]根據(jù)下表中二次函數(shù)$y= ax^{2}+bx+c$的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值,判斷方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0,a,b,c$為常數(shù))的一個解x的取值范圍是(
C
)
A. $6＜x＜6.17$
B. $6.17＜x＜6.18$
C. $6.18＜x＜6.19$
D. $6.19＜x＜6.20$
答案：C 函數(shù)y = ax2 + bx + c的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程ax2 + bx + c = 0的根，因為y = 0在y = - 0.01與y = 0.02之間，所以由題表中數(shù)據(jù)可知對應(yīng)的x的值在6.18與6.19之間，即6.18 ＜ x ＜ 6.19。故選C。
8. [2024安徽合肥瑤海月考]小穎用計算器探索方程$ax^{2}+bx+c= 0$的根,作出如圖所示的圖象,并求得一個近似根$x= -3.4$,則方程的另一個近似根為
1.4
.(精確到0.1)
答案：答案x = 1.4
解析 ∵拋物線與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)約為 - 3.4，拋物線的對稱軸為直線x = - 1，∴拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標(biāo)約為1.4，則方程的另一個近似根為x = 1.4。
9. [2024四川達(dá)州中考]拋物線$y= -x^{2}+bx+c$與x軸交于兩點,其中一個交點的橫坐標(biāo)大于1,另一個交點的橫坐標(biāo)小于1,則下列結(jié)論正確的是(
A
)
A. $b+c＞1$
B. $b= 2$
C. $b^{2}+4c＜0$
D. $c＜0$
答案：A 拋物線y = - x2 + bx + c與x軸交于兩點，設(shè)這兩點分別為(x?,0)和(x?,0)，且x? ＜ 1，x? ＞ 1。
[解法一]根與系數(shù)關(guān)系法：∵x? ＜ 1，x? ＞ 1，∴x? - 1 ＜ 0，x? - 1 ＞ 0，∴(x? - 1)(x? - 1) ＜ 0，∴x?x? - (x? + x?) + 1 ＜ 0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得， - c - b + 1 ＜ 0，∴b + c ＞ 1。故選A。
[解法二]圖象法：∵y = - x2 + bx + c的圖象開口向下，所以當(dāng)x = 1時，y = - 1 + b + c ＞ 0，∴b + c ＞ 1。故選A。
10. [2023湖南衡陽中考]已知$m＞n＞0$,若關(guān)于x的方程$x^{2}+2x-3-m= 0的解為x_{1},x_{2}(x_{1}＜x_{2})$,關(guān)于x的方程$x^{2}+2x-3-n= 0的解為x_{3},x_{4}(x_{3}＜x_{4})$,則下列結(jié)論正確的是( )
A. $x_{3}＜x_{1}＜x_{2}＜x_{4}$
B. $x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$
C. $x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜x_{4}$
D. $x_{3}＜x_{4}＜x_{1}＜x_{2}$
答案：B 關(guān)于x的方程x2 + 2x - 3 - m = 0的解為拋物線y = x2 + 2x - 3與直線y = m的交點的橫坐標(biāo)，關(guān)于x的方程x2 + 2x - 3 - n = 0的解為拋物線y = x2 + 2x - 3與直線y = n的交點的橫坐標(biāo)，如圖：
由圖象可知，x? ＜ x? ＜ x? ＜ x?，故選B。
11. [2024江蘇徐州中考]在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù)$y= (x-2023)(x-2024)+5$的圖象向下平移5個單位長度,所得拋物線與x軸有兩個公共點P、Q,則$PQ= $
1
.
答案：答案1
解析 將二次函數(shù)y = (x - 2023)(x - 2024) + 5的圖象向下平移5個單位長度，所得拋物線的解析式為y = (x - 2023)(x - 2024)，令y = 0，則(x - 2023)(x - 2024) = 0，∴x - 2023 = 0或x - 2024 = 0，解得x = 2023或x = 2024，∴PQ = 2024 - 2023 = 1。
