1.「2025廣東廣州天河月考」若$y= (m+1)x^{|m|+1}-(m-1)x+1$是關(guān)于x的二次函數(shù),則m的值是 (
B
)
A. -1
B. 1
C. ±1
D. 0
答案：B ∵y=(m + 1)x|m| + 1?(m - 1)x + 1是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴|m| + 1 = 2且m + 1≠0，解得m = 1。故選B。
2.「2025山東德州齊河月考」若函數(shù)$y= (m^{2}+m)x^{m^{2}-2m-1}$是關(guān)于x的二次函數(shù),則m的值是
3
.
答案：答案3
解析 由y=(m2 + m)xm2?2m?1是關(guān)于x的二次函數(shù)，得m2?2m?1 = 2且m2 + m≠0，解得m = 3。
3.「2025湖南湘西州鳳凰月考」若二次函數(shù)$y= (m+3)x^{2}-5x+(m^{2}-9)$的圖象經(jīng)過原點,則$m=$
3
.
答案：答案3
解析 ∵二次函數(shù)y=(m + 3)x2?5x + (m2?9)的圖象經(jīng)過原點，∴m + 3≠0且m2?9 = 0，解得m = 3。
4.「2024浙江溫州鹿城三模」已知二次函數(shù)$y= a(x-1)^{2}-a(a≠0)$,當(dāng)$-1≤x≤4$時,y的最小值為-4,則a的值為 (
B
)
A. $\frac {1}{2}$或4
B. 4或$-\frac {1}{2}$
C. $-\frac {4}{3}$或4
D. $-\frac {1}{2}或\frac {4}{3}$
答案：B 拋物線y=a(x - 1)2 - a的對稱軸為直線x = 1，頂點坐標(biāo)為(1, - a)，若a＞0，則在 - 1≤x≤4的范圍內(nèi)，函數(shù)有最小值，為 - a，∵y的最小值為 - 4，∴ - a = - 4，∴a = 4；若a＜0，則在 - 1≤x≤4的范圍內(nèi)，當(dāng)x = 4時，函數(shù)有最小值，∴9a - a = - 4，解得a = - $\frac{1}{2}$。綜上所述，a的值為4或 - $\frac{1}{2}$。故選B。
5.「2025江西宜春高安期中」如果拋物線$y= -x^{2}+3x-2$沿x軸向左平移m個單位長度后經(jīng)過原點,那么$m=$
1或2
.
答案：答案 1或2
解析 y = - x2 + 3x - 2 = - (x - $\frac{3}{2}$)2 + $\frac{1}{4}$，∴拋物線沿x軸向左平移m個單位長度，平移后拋物線的解析式為y = - (x - $\frac{3}{2}$ + m)2 + $\frac{1}{4}$，把(0,0)代入可得 - (m - $\frac{3}{2}$)2 + $\frac{1}{4}$ = 0，解得m? = 1，m? = 2。
6.「2024廣西柳州期末」已知二次函數(shù)$y= 3(x-a)^{2}$的圖象上,當(dāng)$x＞2$時,y隨x的增大而增大,則a的取值范圍是
a≤2
.
答案：答案 a≤2
解析 二次函數(shù)y = 3(x - a)2的對稱軸為直線x = a，圖象開口向上，∵當(dāng)x＞a時，y的值隨x值的增大而增大，∴a≤2。
7.「2024安徽淮南大通月考」如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線$y= -\frac {1}{2}x^{2}+\frac {1}{2}x+3$與x軸正半軸交于點B,與y軸交于點C,且過點$A(-1,2)$,連接AB,AC,BC.
(1)求$\triangle ABC$的面積.
(2)若點P是拋物線對稱軸上一點,且$S_{\triangle ABC}= 2S_{\triangle BCP}$,求點P的坐標(biāo).
答案：解析 (1)把y = 0代入y = - $\frac{1}{2}$x2 + $\frac{1}{2}$x + 3，得 - $\frac{1}{2}$x2 + $\frac{1}{2}$x + 3 = 0，解得x? = - 2，x? = 3，∴B(3,0)。
把x = 0代入y = - $\frac{1}{2}$x2 + $\frac{1}{2}$x + 3，得y = 3，∴C(0,3)。
設(shè)直線AB的解析式為y = kx + b(k≠0)，直線AB與y軸相交于點D，如圖。
把A( - 1,2)、B(3,0)代入y = kx + b，得$\begin{cases}2 = - k + b\\0 = 3k + b\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = - \frac{1}{2}\\b = \frac{3}{2}\end{cases}$，∴直線AB的解析式為y = - $\frac{1}{2}$x + $\frac{3}{2}$。
當(dāng)x = 0時，y = $\frac{3}{2}$，∴D(0,$\frac{3}{2}$)，∴CD = 3 - $\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$。
∴S△ABC = S△ACD + S△BCD = $\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1 + $\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3 = 3。
(2)由y = - $\frac{1}{2}$x2 + $\frac{1}{2}$x + 3可得拋物線的對稱軸為直線x = $\frac{1}{2}$，設(shè)直線BC的解析式為y = mx + n(m≠0)。
把B(3,0)，C(0,3)代入，得$\begin{cases}0 = 3m + n\\3 = n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = - 1\\n = 3\end{cases}$，∴直線BC的解析式為y = - x + 3。
如圖，設(shè)直線BC與拋物線對稱軸相交于點M，點P的坐標(biāo)為($\frac{1}{2}$,p)，把x = $\frac{1}{2}$代入y = - x + 3，得y = - $\frac{1}{2}$ + 3 = $\frac{5}{2}$，∴M($\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$)，∴PM = |$\frac{5}{2}$ - p|。
∴S△BCP = S△CPM + S△BPM = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×|$\frac{5}{2}$ - p| + $\frac{1}{2}$×(3 - $\frac{1}{2}$)×|$\frac{5}{2}$ - p| = $\frac{3}{2}$×|$\frac{5}{2}$ - p|，∵S△ABC = 2S△BCP，∴2S△BCP = 3，
∴2×$\frac{3}{2}$×|$\frac{5}{2}$ - p| = 3，即|$\frac{5}{2}$ - p| = 1，解得p = $\frac{3}{2}$或p = $\frac{7}{2}$，∴點P的坐標(biāo)為($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$)或($\frac{1}{2}$,$\frac{7}{2}$)。
8.「2025安徽蚌埠蚌山月考」函數(shù)$y= -\frac {1}{2}x^{2}-x(-2≤x≤2)$的最大值和最小值分別為 (
A
)
A. $\frac {1}{2}$和-4
B. 0和-4
C. $\frac {1}{2}$和0
D. $\frac {1}{2}$和-6
答案：A 由題意知，y = - $\frac{1}{2}$x2 - x = - $\frac{1}{2}$(x + 1)2 + $\frac{1}{2}$，∴對稱軸為直線x = - 1，∵a = - $\frac{1}{2}$＜0，∴當(dāng)x = - 1時，y有最大值，為$\frac{1}{2}$；當(dāng)x = - 2時，y = 0；當(dāng)x = 2時，y = - 4，∵ - 4＜0，∴y的最小值為 - 4。∴函數(shù)y = - $\frac{1}{2}$x2 - x( - 2≤x≤2)的最大值和最小值分別為$\frac{1}{2}$和 - 4。故選A。
9.「2025甘肅武威涼州期中」已知二次函數(shù)$y= -2(x+1)^{2}+3$,當(dāng)$-2＜x＜3$時,函數(shù)值y的取值范圍是
-29＜y≤3
.
答案：答案 - 29＜y≤3
解析 由題可知函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為( - 1,3)，對稱軸為直線x = - 1，圖象開口向下，∴當(dāng)x = - 1時，函數(shù)有最大值，為3?！?- 2＜x＜3，∴當(dāng)x = - 2時，函數(shù)值y = 1，當(dāng)x = 3時，函數(shù)值y = - 29，∴當(dāng) - 2＜x＜3時，函數(shù)值y的取值范圍是 - 29＜y≤3。
10.「2025浙江溫州瑞安月考」已知$2x-y= 8$,若$-1≤x≤3$,則xy的最大值為
10
.
答案：答案 10
解析 ∵2x - y = 8，∴y = 2x - 8，∴xy = x(2x - 8) = 2x2 - 8x = 2(x2 - 4x) = 2(x - 2)2 - 8，設(shè)z = 2(x - 2)2 - 8，易知拋物線z = 2(x - 2)2 - 8的開口向上，對稱軸為直線x = 2，∵| - 1 - 2|＞|3 - 2|，∴當(dāng)x = - 1時，xy有最大值，為2×9 - 8 = 10。
11.「2025浙江杭州拱墅月考」已知函數(shù)$y= x^{2}+bx+c$(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點$(0,3),(6,3)$.
(1)求b,c的值.
(2)當(dāng)$0≤x≤4$時,求y的最大值與最小值之差.
(3)當(dāng)$-2≤x≤k$時,求y的最小值.(可用含k的代數(shù)式表示)
答案：解析 (1)∵函數(shù)y = x2 + bx + c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(0,3)，(6,3)，
∴$\begin{cases}c = 3\\36 + 6b + c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 6\\c = 3\end{cases}$。
(2)由(1)得，y = x2 - 6x + 3 = (x - 3)2 - 6。
∵0≤x≤4，
∴當(dāng)x = 3時，y取得最小值，此時y = - 6。
當(dāng)x = 0時，y取得最大值，此時y = (0 - 3)2 - 6 = 3。
∵3 - ( - 6) = 9，∴當(dāng)0≤x≤4時，y的最大值與最小值之差為9。
(3)y = x2 - 6x + 3 = (x - 3)2 - 6。
若 - 2＜k≤3，則 - 2≤x≤k時，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x = k時，y有最小值，為y = k2 - 6k + 3；
若k＞3，則 - 2≤x≤k時，拋物線的頂點為圖象最低點，∴當(dāng)x = 3時，y有最小值，為 - 6。
綜上所述，y的最小值為k2 - 6k + 3或 - 6。
