1.「2025廣東廣州海珠月考」一拋物線的形狀、開口方向與拋物線$y= \frac {1}{2}x^{2}+4x-3$相同,頂點(diǎn)為$(-3,2)$,則此拋物線的解析式為 (
B
)
A.$y= \frac {1}{2}(x-3)^{2}+2$
B.$y= \frac {1}{2}(x+3)^{2}+2$
C.$y= \frac {1}{2}(x-3)^{2}-2$
D.$y= \frac {1}{2}(x+3)^{2}-2$
答案：B ∵ 一拋物線的形狀、開口方向與拋物線 $y=\frac{1}{2}x^{2}+4x - 3$ 相同，∴ 該拋物線二次項(xiàng)系數(shù)為 $\frac{1}{2}$，又 ∵ 頂點(diǎn)為 $(-3,2)$，∴ 該拋物線的解析式為 $y=\frac{1}{2}(x + 3)^{2}+2$。故選 B。
2.「2025甘肅平?jīng)鲠轻荚驴肌挂阎魏瘮?shù)$y= ax^{2}+bx+c$,當(dāng)$x= -3$時(shí),函數(shù)取得最值4,當(dāng)$x= 1$時(shí),$y= -8$,則函數(shù)解析式為
$y=-\frac{3}{4}x^{2}-\frac{9}{2}x-\frac{11}{4}$
.
答案：答案 $y=-\frac{3}{4}x^{2}-\frac{9}{2}x-\frac{11}{4}$
解析 ∵ 當(dāng) $x = - 3$ 時(shí)，函數(shù)取得最值 4，即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 $(-3,4)$，∴ 設(shè) $y = a(x + 3)^{2}+4(a\neq0)$，∵ 當(dāng) $x = 1$ 時(shí)，$y = - 8$，∴ 把 $(1,-8)$ 代入 $y = a(x + 3)^{2}+4$，得 $-8=(1 + 3)^{2}a + 4$，∴ $a=-\frac{3}{4}$，∴ $y=-\frac{3}{4}(x + 3)^{2}+4=-\frac{3}{4}x^{2}-\frac{9}{2}x-\frac{11}{4}$。
3.「2024陜西西安長安期末」若$y= ax^{2}+bx+c$,由下列表格的信息,可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是
$y = x^{2}-4x + 3$
.
答案：答案 $y = x^{2}-4x + 3$
解析 依題意，得 $\begin{cases}a = 1\\a - b + c = 8\\c = 3\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 1\\b = - 4\\c = 3\end{cases}$，∴ $y$ 與 $x$ 之間的函數(shù)關(guān)系式是 $y = x^{2}-4x + 3$。
4.「2024陜西中考,」已知一個(gè)二次函數(shù)$y= ax^{2}+bx+c$的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值如下表:
則下列結(jié)論正確的是 (
D
)
A.圖象的開口向上
B.當(dāng)$x＞0$時(shí),y的值隨x值的增大而減小
C.圖象經(jīng)過第二、三、四象限
D.圖象的對(duì)稱軸是直線$x= 1$
答案：D 由題知，$\begin{cases}4a - 2b + c = - 8\\c = 0\\9a + 3b + c = - 3\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = - 1\\b = 2\\c = 0\end{cases}$，∴ 二次函數(shù)的解析式為 $y=-x^{2}+2x$?！?$a=-1\lt0$，∴ 拋物線的開口向下，故 A 不符合題意；∵ $y=-x^{2}+2x=-(x - 1)^{2}+1$，∴ 當(dāng) $x\gt0$ 時(shí)，$y$ 隨 $x$ 的增大先增大后減小，故 B 不符合題意；令 $y = 0$，得 $-x^{2}+2x = 0$，解得 $x_{1}=0$，$x_{2}=2$，∴ 拋物線與 $x$ 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 $(0,0)$ 和 $(2,0)$，又因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 $(1,1)$，∴ 拋物線經(jīng)過第一、三、四象限，故 C 不符合題意；∵ 二次函數(shù)的解析式為 $y=-(x - 1)^{2}+1$，∴ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 $x = 1$，故 D 符合題意。故選 D。
5.易錯(cuò)題「2025浙江杭州月考,」拋物線$y= ax^{2}+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)$、$B(0,-3)$,且對(duì)稱軸到y(tǒng)軸的距離為2,則拋物線的函數(shù)表達(dá)式是
$y=-x^{2}+4x - 3$ 或 $y=\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x - 3$
.
答案：答案 $y=-x^{2}+4x - 3$ 或 $y=\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x - 3$
解析 將 $A$，$B$ 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 $y = ax^{2}+bx + c$，得 $\begin{cases}a + b + c = 0\\c = - 3\end{cases}$，則 $a + b = 3$。因?yàn)閷?duì)稱軸到 $y$ 軸的距離為 2，則 $-\frac{2a}=2$ 或 $-2$。當(dāng) $-\frac{2a}=2$ 時(shí)，$b=-4a$，則 $a+(-4a)=3$，解得 $a=-1$，則 $b = 4$，所以此時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式是 $y=-x^{2}+4x - 3$。同理可得，當(dāng) $-\frac{2a}=-2$ 時(shí)，$a=\frac{3}{5}$，$b=\frac{12}{5}$，所以此時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式是 $y=\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x - 3$。綜上所述，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 $y=-x^{2}+4x - 3$ 或 $y=\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x - 3$。
易錯(cuò)點(diǎn) 對(duì)稱軸的位置不確定，易忽視其中一種情況。
6.將軍飲馬模型「2025廣東廣州番禺期中,」拋物線$y= -x^{2}+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(0,3)$.
(1)求這條拋物線的解析式.
(2)如圖,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),連接AP,BP,當(dāng)$AP+BP$的值最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
答案：解析 (1) 把 $A(-1,0)$，$B(0,3)$ 分別代入 $y=-x^{2}+bx + c$，得 $\begin{cases}-1 - b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得 $\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$，∴ 拋物線的解析式為 $y=-x^{2}+2x + 3$。
(2) 設(shè)拋物線與 $x$ 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 $C$，∵ $y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，∴ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 $x = 1$，又 ∵ $A(-1,0)$，∴ $C(3,0)$，連接 $PC$，如圖，$\because PA = PC$，$\therefore PA + PB = PB + PC$，∴ 當(dāng) $P$、$C$、$B$ 三點(diǎn)共線時(shí)，$PA + PB$ 的值最小，設(shè)直線 $BC$ 的解析式為 $y = mx + n(m\neq0)$，把 $C(3,0)$，$B(0,3)$ 分別代入得 $\begin{cases}3m + n = 0\\n = 3\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = - 1\\n = 3\end{cases}$，∴ 直線 $BC$ 的解析式為 $y=-x + 3$，當(dāng) $x = 1$ 時(shí)，$y=-x + 3 = 2$，∴ $P$ 點(diǎn)坐標(biāo)為 $(1,2)$。
7.「2025安徽淮南期中,」如圖,拋物線$y= a(x-2)^{2}+3$(a為常數(shù)且$a≠0$)與y軸交于點(diǎn)$A(0,\frac {5}{3}).$
(1)求該拋物線的表達(dá)式.
$y=-\frac{1}{3}(x - 2)^{2}+3$
(2)若直線$y= kx+\frac {2}{3}(k≠0)$與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為$x_{1},x_{2}$,當(dāng)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 10$時(shí),求k的值.
$\frac{2}{3}$或$2$
答案：解析 (1) ∵ 拋物線 $y = a(x - 2)^{2}+3$（$a$ 為常數(shù)且 $a\neq0$）與 $y$ 軸交于點(diǎn) $A(0,\frac{5}{3})$，$\therefore 4a + 3=\frac{5}{3}$，$\therefore a=-\frac{1}{3}$，$\therefore y=-\frac{1}{3}(x - 2)^{2}+3$。
(2) ∵ 直線 $y = kx+\frac{2}{3}(k\neq0)$ 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，$\therefore kx+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}(x - 2)^{2}+3$，整理得 $x^{2}+(3k - 4)x - 3 = 0$，$\therefore \Delta=(3k - 4)^{2}+12\gt0$，$\because x_{1}+x_{2}=4 - 3k$，$x_{1}\cdot x_{2}=-3$，$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(4 - 3k)^{2}+6 = 10$，$\therefore k=\frac{2}{3}$ 或 $k = 2$。
