9.「2024山東東營中考,★☆」已知拋物線$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(
D
)
A. $abc ＜ 0$
B. $a - b = 0$
C. $3a - c = 0$
D. $am^{2}+bm \leq a - b$($m$為任意實(shí)數(shù))
答案：D 由函數(shù)圖象可知，$a\lt0$，$b\lt0$，$c\gt0$，$\therefore abc\gt0$，故A不符合題意；$\because$ 拋物線與$x$軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為$(-3,0)$和$(1,0)$，$\therefore$ 拋物線的對稱軸為直線$x=-\frac{2a}=\frac{-3 + 1}{2}=-1$，$\therefore b = 2a$，$\therefore 2a - b = 0$，故B不符合題意；把$(1,0)$代入解析式，得$a + b + c = 0$，將$b = 2a$代入$a + b + c = 0$，得$a + 2a + c = 0$，$\therefore 3a + c = 0$，故C不符合題意；$\because$ 拋物線的對稱軸為直線$x=-1$，且拋物線開口向下，$\therefore$ 當(dāng)$x=-1$時(shí)，函數(shù)取得最大值，為$a - b + c$，$\therefore$ 對于拋物線上的任意一點(diǎn)（橫坐標(biāo)為$m$），總有$am^{2}+bm + c\leqslant a - b + c$，$\therefore am^{2}+bm\leqslant a - b$，故D符合題意.故選D.
10.「2025江蘇蘇州平江中學(xué)月考,★☆」二次函數(shù)$y = ax^{2}+6x + a$的最小值是8,則$a = $
9
。
答案：答案 9
解析 $\because$ 二次函數(shù)$y = ax^{2}+6x + a$的最小值是8，$\therefore a\gt0$，$y_{最小值}=\frac{4a^{2}-36}{4a}=8$，整理，得$a^{2}-8a - 9 = 0$，解得$a = 9$或$-1$，$\because a\gt0$，$\therefore a = 9$.
11.「2024四川成都中考,★☆」在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中,$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$,$C(x_{3},y_{3})$是二次函數(shù)$y = -x^{2}+4x - 1$圖象上的三點(diǎn)。若$0 ＜ x_{1} ＜ 1$,$x_{2} ＞ 4$,則$y_{1}$____
＞
____$y_{2}$(填“＞”或“＜”)；若對于$m ＜ x_{1} ＜ m + 1$,$m + 1 ＜ x_{2} ＜ m + 2$,$m + 2 ＜ x_{3} ＜ m + 3$,存在$y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$,則$m$的取值范圍是____
$-\frac{1}{2}\lt m\lt1$
____。
答案：答案 $\gt$；$-\frac{1}{2}\lt m\lt1$
解析 $\because y=-x^{2}+4x - 1=-(x - 2)^{2}+3$，$\therefore$ 圖象的對稱軸為直線$x = 2$，開口向下，$\because 0\lt x_{1}\lt1$，$x_{2}\gt4$，$\therefore 2 - x_{1}\lt x_{2}-2$，即$A(x_{1},y_{1})$比$B(x_{2},y_{2})$離對稱軸的距離近，$\therefore y_{1}\gt y_{2}$；$\because m\lt x_{1}\lt m + 1$，$m + 1\lt x_{2}\lt m + 2$，$m + 2\lt x_{3}\lt m + 3$，$\therefore x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}$，$\because$ 對于$m\lt x_{1}\lt m + 1$，$m + 1\lt x_{2}\lt m + 2$，$m + 2\lt x_{3}\lt m + 3$，存在$y_{1}\lt y_{3}\lt y_{2}$，$\therefore x_{1}\lt2$，$x_{3}\gt2$，且$A(x_{1},y_{1})$離對稱軸的距離最遠(yuǎn)，$B(x_{2},y_{2})$離對稱軸的距離最近，$\therefore 2 - x_{1}\gt x_{3}-2\gt|x_{2}-2|$，$\therefore x_{1}+x_{3}\lt4$，且$x_{2}+x_{3}\gt4$，$\because 2m + 2\lt x_{1}+x_{3}\lt2m + 4$，$2m + 3\lt x_{2}+x_{3}\lt2m + 5$，$\therefore 2m + 2\lt4$，且$2m + 5\gt4$，解得$-\frac{1}{2}\lt m\lt1$.
12.「2025浙江杭州上城期中,★☆」已知某二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)$x與縱坐標(biāo)y$的對應(yīng)值如表所示：
(1) 直接寫出$m$,$n$的值,并求當(dāng)$x$在什么范圍時(shí),$y隨x$的增大而增大。$m=$
0
，$n=$
4
；當(dāng)$x$
$\lt2$
時(shí),$y隨x$的增大而增大。
(2) 若點(diǎn)$(p,q)$在該二次函數(shù)圖象上,當(dāng)$-1 \leq p \leq 4$時(shí),求$q$的取值范圍。
$-8\leqslant q\leqslant1$
答案：解析 (1)由表格知$x=-1$時(shí)，$y=-8$；$x = 5$時(shí)，$y=-8$，$\therefore$ 拋物線的對稱軸為直線$x=\frac{-1 + 5}{2}=2$，$\because \frac{1 + 3}{2}=2$，$\therefore$ 點(diǎn)$(1,m)$與點(diǎn)$(3,0)$是關(guān)于直線$x = 2$對稱的點(diǎn)，$\therefore m = 0$，$\because$ 當(dāng)$x = 0$時(shí)，$y=-3$；當(dāng)$x = n$時(shí)，$y=-3$，$\therefore \frac{0 + n}{2}=2$，$\therefore n = 4$.
結(jié)合題表可得，當(dāng)$x\lt2$時(shí)，$y$隨$x$的增大而增大.
(2)$\because$ 拋物線對稱軸為直線$x = 2$，當(dāng)$x\lt2$時(shí)，$y$隨$x$的增大而增大，$\therefore$ 該拋物線開口向下，當(dāng)$x = 2$時(shí)，$y$取得最大值，為1，$\because |-1 - 2|\gt|4 - 2|$，$\therefore$ 當(dāng)$x=-1$時(shí)，$y$取得最小值，為$-8$，$\because -1\leqslant p\leqslant4$，$\therefore -8\leqslant q\leqslant1$.
13. 設(shè)$P(x,y_{1})$,$Q(x,y_{2})分別是函數(shù)C_{1}$,$C_{2}$圖象上的點(diǎn),當(dāng)$a \leq x \leq b$時(shí),$-1 \leq y_{1}-y_{2} \leq 1$恒成立,則稱函數(shù)$C_{1}$,$C_{2}在a \leq x \leq b$上是“逼近函數(shù)”,$a \leq x \leq b$為“逼近區(qū)間”。則下列結(jié)論：①函數(shù)$y_{1} = x - 5$,$y_{2} = 3x + 2在1 \leq x \leq 2$上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)$y_{1} = x - 5$,$y_{2} = x^{2}-4x在3 \leq x \leq 4$上是“逼近函數(shù)”；③$0 \leq x \leq 1是函數(shù)y_{1} = x^{2}-1$,$y_{2} = 2x^{2}-x$的“逼近區(qū)間”；④$2 \leq x \leq 3是函數(shù)y_{1} = x - 5$,$y_{2} = x^{2}-4x$的“逼近區(qū)間”。其中正確的為(
②③
)
A. ②③
B. ①④
C. ①③
D. ②④
答案：A ①$y_{1}-y_{2}=-2x - 7$，在$1\leqslant x\leqslant2$上，當(dāng)$x = 1$時(shí)，$y_{1}-y_{2}=-9$，當(dāng)$x = 2$時(shí)，$y_{1}-y_{2}=-11$，可知$-11\leqslant y_{1}-y_{2}\leqslant-9$，故函數(shù)$y_{1}=x - 5$，$y_{2}=3x + 2$在$1\leqslant x\leqslant2$上不是“逼近函數(shù)”，①結(jié)論不正確；②$y_{1}-y_{2}=-x^{2}+5x - 5$，在$3\leqslant x\leqslant4$上，當(dāng)$x = 3$時(shí)，$y_{1}-y_{2}=1$，當(dāng)$x = 4$時(shí)，$y_{1}-y_{2}=-1$，所以$-1\leqslant y_{1}-y_{2}\leqslant1$，故函數(shù)$y_{1}=x - 5$，$y_{2}=x^{2}-4x$在$3\leqslant x\leqslant4$上是“逼近函數(shù)”，②結(jié)論正確；③$y_{1}-y_{2}=-x^{2}+x - 1$，在$0\leqslant x\leqslant1$上，當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)，$y_{1}-y_{2}=-\frac{3}{4}$，當(dāng)$x = 0$或1時(shí)，$y_{1}-y_{2}=-1$，可知$-1\leqslant y_{1}-y_{2}\leqslant-\frac{3}{4}$，所以$-1\leqslant y_{1}-y_{2}\leqslant1$成立，故$0\leqslant x\leqslant1$是函數(shù)$y_{1}=x^{2}-1$，$y_{2}=2x^{2}-x$的“逼近區(qū)間”，③結(jié)論正確；④$y_{1}-y_{2}=-x^{2}+5x - 5$，在$2\leqslant x\leqslant3$上，當(dāng)$x=\frac{5}{2}$時(shí)，$y_{1}-y_{2}=\frac{5}{4}$，當(dāng)$x = 2$或3時(shí)，$y_{1}-y_{2}=1$，可知$1\leqslant y_{1}-y_{2}\leqslant\frac{5}{4}$，故$2\leqslant x\leqslant3$不是函數(shù)$y_{1}=x - 5$，$y_{2}=x^{2}-4x$的“逼近區(qū)間”，④結(jié)論不正確.故選A.
例題 「2025浙江寧波慈溪期中」若二次函數(shù)$y = x^{2}+2x - 3(m \leq x \leq 2)的最小值為-4$,最大值為5,則$m$的取值范圍是____。
答案：答案 $-4\leqslant m\leqslant-1$
解析 如圖，$\because y=x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，$\therefore$ 對稱軸為直線$x=-1$，函數(shù)的最小值為$-4$，$\because m\leqslant x\leqslant2$時(shí)，函數(shù)的最小值為$-4$，最大值為5，$\therefore$ 令$y = 5$，則$(x + 1)^{2}-4 = 5$，解得$x_{1}=-4$，$x_{2}=2$，$\therefore m$的取值范圍為$-4\leqslant m\leqslant-1$.
變式1【定軸動(dòng)區(qū)間】「2025江蘇蘇州振華中學(xué)月考」已知$y = x^{2}-4x + 3$,當(dāng)$m \leq x \leq m + 2$時(shí),函數(shù)$y的最小值為\frac{5}{4}$,則$m$的值為
$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
。
答案：答案 $-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
解析 $\because$ 二次函數(shù)$y=x^{2}-4x + 3=(x - 2)^{2}-1$，$\therefore$ 對稱軸為直線$x = 2$.
①若$m + 2\lt2$，即$m\lt0$，則當(dāng)$x = m + 2$時(shí)，$y$的最小值是$\frac{5}{4}$，$\therefore (m + 2 - 2)^{2}-1=m^{2}-1=\frac{5}{4}$，$\therefore m=-\frac{3}{2}$或$m=\frac{3}{2}$（舍去）；
②若$m\gt2$，則當(dāng)$x = m$時(shí)，$y$的最小值為$\frac{5}{4}$，$\therefore (m - 2)^{2}-1=\frac{5}{4}$，$\therefore m=\frac{7}{2}$或$m=\frac{1}{2}$（舍去）；
③若$m\lt2\lt m + 2$，則當(dāng)$x = 2$時(shí)，$y$的最小值為$-1$，不符合題意.
綜上所述，$m$的值為$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$.
變式2【動(dòng)軸定區(qū)間】當(dāng)$1 \leq x \leq 4$時(shí),函數(shù)$y = x^{2}-2ax - 1有最小值-5$,則實(shí)數(shù)$a$的值是
2
。
答案：答案 2
解析 易知函數(shù)$y=x^{2}-2ax - 1$的圖象開口向上，對稱軸為直線$x=-\frac{-2a}{2\times1}=a$，
若$a\leqslant1$，則當(dāng)$x = 1$時(shí)，函數(shù)取最小值，
此時(shí)$y = 1-2a - 1=-5$，解得$a = 2.5$（不合題意，舍去）；
若$a\geqslant4$，則當(dāng)$x = 4$時(shí)，函數(shù)取最小值，
此時(shí)$y = 16-8a - 1=-5$，解得$a = 2.5$（不合題意，舍去）；
若$1\lt a\lt4$，則當(dāng)$x = a$時(shí)，函數(shù)取最小值，
此時(shí)$y=a^{2}-2a^{2}-1=-5$，解得$a_{1}=2$，$a_{2}=-2$（舍去）.
綜上，實(shí)數(shù)$a$的值是2.
