11.「2024吉林臨江期末,★☆」如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)$A在拋物線y = (x - 1)^2 + 2$上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)$A作AB \perp x軸于點(diǎn)B$。以$AB為斜邊作Rt\triangle ABC$,$AB邊上的中線CD$長(zhǎng)的最小值是
1
。
答案：答案 1
解析 $\because CD$為$Rt\triangle ABC$斜邊的中線，$\therefore CD = \frac{1}{2}AB$，又$\because$ 拋物線$y = (x - 1)^2 + 2$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$，$\therefore$ 點(diǎn)$A$到$x$軸的距離最小為2，$\therefore$ 中線$CD$長(zhǎng)的最小值為$\frac{1}{2}×2 = 1$.
方法解讀 求動(dòng)點(diǎn)到直線的距離或求定點(diǎn)到直線的距離的依據(jù)是“垂線段最短”，基本構(gòu)圖方法是過(guò)點(diǎn)向直線作垂線段，垂線段的長(zhǎng)就是所求的距離.
12.「2025河北張家口宣化期中,★☆」杭州亞運(yùn)會(huì)羽毛球比賽項(xiàng)目中,中國(guó)隊(duì)收獲4金3銀2銅共9枚獎(jiǎng)牌。在一次羽毛球比賽中,甲運(yùn)動(dòng)員在離地面1米的$A$點(diǎn)處發(fā)球,羽毛球的飛行路線為拋物線的一部分。當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),離甲運(yùn)動(dòng)員站立地點(diǎn)$O$的水平距離為4米,其高度為$\frac{21}{5}$米。在離點(diǎn)$O$水平距離5米處,豎直放置一個(gè)高1.55米的球網(wǎng)$BC$,以點(diǎn)$O$為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,回答下列問(wèn)題：
(1)求拋物線的解析式(不要求寫自變量的取值范圍)。
$y = - \frac{1}{5}(x - 4)^2 + \frac{21}{5}$
(2)通過(guò)計(jì)算判斷此球能否過(guò)網(wǎng)。
能
答案：解析 (1) 根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為$y = a(x - 4)^2 + \frac{21}{5}$，將點(diǎn)$(0,1)$代入可得$1 = a(0 - 4)^2 + \frac{21}{5}$，解得$a = - \frac{1}{5}$，$\therefore$ 拋物線的解析式為$y = - \frac{1}{5}(x - 4)^2 + \frac{21}{5}$.
(2) 此球能過(guò)網(wǎng). 理由如下：
當(dāng)$x = 5$時(shí)，$y = - \frac{1}{5}×(5 - 4)^2 + \frac{21}{5} = 4$，$\because 4 ＞ 1.55$，$\therefore$ 此球能過(guò)網(wǎng).
13.新運(yùn)算能力學(xué)科數(shù)形結(jié)合思想「2024廣東清遠(yuǎn)模擬」如圖,直線$y = x - 3與x$軸、$y軸分別交于點(diǎn)B$、$A$,拋物線$y = a(x - 2)^2 + k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A$、$B$,其頂點(diǎn)為$C$。
(1)求拋物線的解析式。
(2)求$\triangle ABC$的面積。
(3)點(diǎn)$P為直線AB$上方拋物線上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)$P作PD // y軸交直線AB于點(diǎn)D$,求線段$PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P$的坐標(biāo)。
答案：解析 (1) 當(dāng)$x = 0$時(shí)，$y = - 3$，當(dāng)$y = 0$時(shí)，$x = 3$，$\therefore A(0,- 3)$，$B(3,0)$，把$(0,- 3)$，$(3,0)$代入$y = a(x - 2)^2 + k$，得$\begin{cases}4a + k = - 3\\a + k = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - 1\\k = 1\end{cases}$，$\therefore$ 拋物線的解析式為$y = - (x - 2)^2 + 1 = - x^2 + 4x - 3$.
(2) 由拋物線的頂點(diǎn)式$y = - (x - 2)^2 + 1$得$C(2,1)$，如圖，過(guò)點(diǎn)$C$作$CQ // y$軸交$AB$于點(diǎn)$Q$，則$Q(2,- 1)$，
$\therefore S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ACQ} + S_{\triangle BCQ} = \frac{1}{2}CQ \cdot OB = \frac{1}{2}×[1 - (- 1)]×3 = 3$.
(3) $\because$ 點(diǎn)$P$為直線$AB$上方拋物線上的任意一點(diǎn)，$\therefore$ 設(shè)點(diǎn)$P(x,- x^2 + 4x - 3)(0 ＜ x ＜ 3)$，則$D(x,x - 3)$，$\therefore PD = - x^2 + 4x - 3 - (x - 3) = - x^2 + 3x = - (x - 1.5)^2 + 2.25$，$\therefore$ 當(dāng)$x = 1.5$時(shí)，$PD$有最大值，為$2.25$，此時(shí)$P(1.5,0.75)$.
