1.「2025山東濱州濱城期中」關(guān)于拋物線$y = - 2(x + 1)^2 + 3$,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(
B
)
A. 開(kāi)口向下
B. 當(dāng)$x ＜ - 1$時(shí),$y隨x$的增大而減小
C. 對(duì)稱軸是直線$x = - 1$
D. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(0,1)$
答案：B A. $\because - 2 ＜ 0$，$\therefore$ 拋物線開(kāi)口向下，故A選項(xiàng)正確；B. $\because$ 拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線$x = - 1$，$\therefore$ 當(dāng)$x ＜ - 1$時(shí)，$y$隨$x$的增大而增大，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C. 由解析式可知，對(duì)稱軸為直線$x = - 1$，故C選項(xiàng)正確；D. 令$x = 0$，得$y = - 2×1 + 3 = 1$，$\therefore$ 拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(0,1)$，故D選項(xiàng)正確. 故選B.
2.「2025浙江溫州瑞安月考」甲,乙兩個(gè)二次函數(shù)分別為$y_{甲} = (x + 10)^2 + 30$,$y_{乙} = - (x - 20)^2 + 30$,下列敘述正確的是(
C
)
A. 當(dāng)$x = 10$時(shí),$y_{甲}$有最大值30
B. 當(dāng)$x = 10$時(shí),$y_{甲}$有最小值30
C. 當(dāng)$x = 20$時(shí),$y_{乙}$有最大值30
D. 當(dāng)$x = 20$時(shí),$y_{乙}$有最小值-30
答案：C $\because$ 二次函數(shù)$y_{甲} = (x + 10)^2 + 30$中，$a = 1 ＞ 0$，$\therefore$ 當(dāng)$x = - 10$時(shí)，$y_{甲}$有最小值30，$\therefore$ A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤；$\because$ 二次函數(shù)$y_{乙} = - (x - 20)^2 + 30$中，$a = - 1 ＜ 0$，$\therefore$ 當(dāng)$x = 20$時(shí)，$y_{乙}$有最大值30，$\therefore$ C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選C.
3.「2024四川涼山州中考」拋物線$y = \frac{2}{3}(x - 1)^2 + c經(jīng)過(guò)(- 2,y_1)$,$(0,y_2)$,$(\frac{5}{2},y_3)$三點(diǎn),則$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小關(guān)系正確的是(
D
)
A. $y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B. $y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$
C. $y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$
D. $y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
答案：D $\because y = \frac{2}{3}(x - 1)^2 + c$，$\therefore$ 拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線$x = 1$，$\therefore$ 當(dāng)$x ＜ 1$時(shí)，$y$隨$x$的增大而減小，$\because (\frac{5}{2},y_3)$關(guān)于直線$x = 1$的對(duì)稱點(diǎn)是$(-\frac{1}{2},y_3)$，$- 2 ＜ - \frac{1}{2} ＜ 0 ＜ 1$，$\therefore y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$. 故選D.
4.新代數(shù)推理如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有兩條位置確定的拋物線,它們的對(duì)稱軸相同,表達(dá)式中的$h$,$k$,$m$,$n$都是常數(shù),則下列關(guān)系不正確的是(
D
)
A. $h ＜ 0$,$k ＞ 0$
B. $m ＜ 0$,$n ＞ 0$
C. $h = m$
D. $k = n$
答案：根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為$(h,k)$，$(m,n)$，因?yàn)樗鼈兊膶?duì)稱軸相同，所以$m = h$，由題圖知$h ＜ 0$，$k ＞ 0$，$m ＜ 0$，$n ＞ 0$，因?yàn)辄c(diǎn)$(h,k)$在點(diǎn)$(m,n)$的下方，所以$k ＜ n$. 故選D.
5.學(xué)科分類討論思想拋物線$y = (x - a)^2 + a - 1$的頂點(diǎn)一定不在(
B
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：$\because y = (x - a)^2 + a - 1$，$\therefore$ 該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(a,a - 1)$，當(dāng)$a ＞ 1$時(shí)，$a - 1 ＞ 0$，此時(shí)頂點(diǎn)在第一象限，故A不符合題意；當(dāng)$0 ＜ a ＜ 1$時(shí)，$- 1 ＜ a - 1 ＜ 0$，此時(shí)頂點(diǎn)在第四象限，故D不符合題意；當(dāng)$a ＜ 0$時(shí)，$a - 1 ＜ 0$，此時(shí)頂點(diǎn)在第三象限，故C不符合題意. 故選B.
6.學(xué)科多解法「2024山東濱州中考」將拋物線$y = - x^2$先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,則平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____
(1,2)
。
答案：答案 $(1,2)$
解析 【解法一】將拋物線$y = - x^2$先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，拋物線的解析式為$y = - (x - 1)^2 + 2$，$\therefore$ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$.
【解法二】平移前拋物線$y = - x^2$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(0,0)$，先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為$(1,2)$.
7.「2025浙江杭州期中」若$- 1 \leq x \leq m$時(shí),函數(shù)$y = (x - 2)^2 + 1$的最大值為17,則$m = $
6
。
答案：答案 6
解析 $\because$ 二次函數(shù)$y = (x - 2)^2 + 1$，$\therefore$ 該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線$x = 2$.
當(dāng)$x = 2$時(shí)，$y$取得最小值，為1，當(dāng)$x = - 1$時(shí)，$y = (- 1 - 2)^2 + 1 = 10$，$\because$ 當(dāng)$- 1 \leq x \leq m$時(shí)，函數(shù)$y = (x - 2)^2 + 1$的最大值為17，$\therefore$ 當(dāng)$x = m$時(shí)，$y$取得最大值，為17，即$(m - 2)^2 + 1 = 17$，解得$m = 6$或$m = - 2$（舍去）.
8.「2023遼寧大連中山期末」已知拋物線$C_1的解析式為y = x^2 - 2x + 1$,將拋物線$C_1$先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線$C_2$。
(1)求拋物線$C_2$的函數(shù)關(guān)系式。
(2)點(diǎn)$A(a,- 3)是不是拋物線C_2$上的點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由。
答案：解析 (1) $\because$ 拋物線$C_1$的解析式為$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，$\therefore$ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,0)$，$\therefore$ 平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,- 2)$，$\therefore$ 拋物線$C_2$的解析式為$y = (x - 2)^2 - 2$.
(2) 點(diǎn)$A$不是拋物線$C_2$上的點(diǎn).
理由：$\because$ 拋物線$C_2$的開(kāi)口向上，函數(shù)有最小值，為$- 2$，$- 3 ＜ - 2$，$\therefore$ 點(diǎn)$A$不是拋物線$C_2$上的點(diǎn).
9.「2025江蘇蘇州姑蘇期中,★☆」二次函數(shù)$y = a(x - 3)^2 + c與一次函數(shù)y = cx + a$在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是(
A
)
答案：A. $\because$ 一次函數(shù)$y = cx + a$的圖象過(guò)第一、二、四象限，$\therefore a ＞ 0$，$c ＜ 0$，$\because$ 二次函數(shù)$y = a(x - 3)^2 + c$的圖象開(kāi)口向上，頂點(diǎn)$(3,c)$在第四象限，$\therefore a ＞ 0$，$c ＜ 0$，一致，故A正確；B. $\because$ 一次函數(shù)$y = cx + a$的圖象與$y$軸交于負(fù)半軸，$\therefore a ＜ 0$，$\because$ 二次函數(shù)$y = a(x - 3)^2 + c$的圖象開(kāi)口向上，$\therefore a ＞ 0$，矛盾，故B錯(cuò)誤；C. 二次函數(shù)$y = a(x - 3)^2 + c$的對(duì)稱軸為直線$x = 3$，在$y$軸右側(cè)，故C錯(cuò)誤；D. $\because$ 一次函數(shù)$y = cx + a$的圖象過(guò)第一、二、三象限，$\therefore c ＞ 0$，$\because$ 拋物線$y = a(x - 3)^2 + c$的頂點(diǎn)$(3,c)$在第四象限，$\therefore c ＜ 0$，矛盾，故D錯(cuò)誤. 故選A.
10.「2025浙江嘉興平湖林埭中學(xué)月考,★☆」已知拋物線$y = - 5(x + m)^2 - 3$。當(dāng)$x \geq 2$時(shí),$y隨x$的增大而減小,那么$m$的取值范圍是(
A
)
A. $m \geq - 2$
B. $m \leq - 2$
C. $- 2 ＜ m ＜ 0$
D. $m ＜ - 2$
答案：A $\because y = - 5(x + m)^2 - 3$，$\therefore$ 對(duì)稱軸為直線$x = - m$，$\because a = - 5 ＜ 0$，$\therefore$ 拋物線開(kāi)口向下，$\therefore$ 在對(duì)稱軸右側(cè)$y$隨$x$的增大而減小，$\because$ 當(dāng)$x \geq 2$時(shí)，$y$隨$x$的增大而減小，$\therefore - m \leq 2$，解得$m \geq - 2$，故選A.
