1.「2025北京東城期中」對于二次函數(shù)$y= -2(x+1)^{2}$,下列說法錯誤的是(
B
)
A. 它的圖象的開口向下
B. 它的圖象的對稱軸是直線$x= 1$
C. 當(dāng)$x= -1$時,$y$取最大值
D. 當(dāng)$x＞1$時,$y隨x$的增大而減小
答案：B 對于二次函數(shù)y=?2(x+1)2，∵?2＜0，∴它的圖象開口向下，故A正確；對稱軸為直線x=?1，故B錯誤；當(dāng)x=?1時，y有最大值，故C正確；∵當(dāng)x＞?1時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小，故D正確。故選B。
2. 新課標(biāo) 幾何直觀 若二次函數(shù)$y= 2(x-1)^{2}$的圖象如圖所示,則坐標(biāo)原點可能是(
B
)
A. 點$M$
B. 點$N$
C. 點$P$
D. 點$Q$
答案：B ∵y=2(x?1)2，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,0)，∴坐標(biāo)原點可能是點N。故選B。
3.「2025北京海淀期中」已知函數(shù)$y= -(x-2)^{2}$的圖象上有A(-$\frac {1}{2},y_{1}),B(1,y_{2}),C(5,y_{3})$三點,則$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小關(guān)系是____
y3＜y1＜y2
(用“＜”連接)。
答案：答案y3＜y1＜y2
解析 當(dāng)x= -$\frac{1}{2}$時，y1=?( -$\frac{1}{2}$ - 2)2= -$\frac{25}{4}$；當(dāng)x=1時，y2=?(1?2)2=?1；當(dāng)x=5時，y3=?(5?2)2=?9。
∵?9＜ -$\frac{25}{4}$＜?1，∴y3＜y1＜y2。
4.「2025北京東城期中」二次函數(shù)$y= 2(x-1)^{2}$的圖象可以由函數(shù)$y= 2x^{2}$的圖象向
右
平移
1
個單位得到。
答案：答案 右；1
解析 根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“左加右減自變量，上加下減常數(shù)項”可知，函數(shù)y=2(x?1)2的圖象可以由函數(shù)y=2x2的圖象向右平移1個單位得到。
5. 已知拋物線$y= -3x^{2}$,若拋物線不動,把$y$軸向右平移3個單位,則在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式為
y=?3(x+3)2
。
答案：答案y=?3(x+3)2
解析 拋物線y=?3x2的頂點坐標(biāo)為(0,0)，∵把y軸向右平移3個單位，∴新平面直角坐標(biāo)系中拋物線的頂點坐標(biāo)為(?3,0)，∴新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是y=?3(x+3)2。
6.「2025云南昆明期末,★☆」在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)$y= ax+c和二次函數(shù)y= a(x+c)^{2}$的圖象大致為(
B
)
答案：B A. 由題中圖象可知，函數(shù)y=ax+c中，a＞0，c＞0，函數(shù)y=a(x+c)2中，a＜0，c＜0，矛盾，故A錯誤；B. 由題中圖象可知，函數(shù)y=ax+c中，a＜0，c＞0，函數(shù)y=a(x+c)2中，a＜0，c＞0，一致，故B正確；C. 由題中圖象可知，函數(shù)y=ax+c中，a＞0，c＜0，函數(shù)y=a(x+c)2中，a＞0，c＞0，矛盾，故C錯誤；D. 由題中圖象可知，函數(shù)y=ax+c中，a＜0，c＞0，函數(shù)y=a(x+c)2中，a＞0，c＜0，矛盾，故D錯誤。故選B。
7.「2024福建莆田荔城開學(xué)測試,★☆」已知拋物線$y= a(x-h)^{2}$,當(dāng)$x= 2$時,有最大值,且拋物線過點$(1,-3)$。
(1)求拋物線的解析式。
解：拋物線的解析式為
$y=-3(x-2)^2$
。
(2)當(dāng)$0＜x＜5$時,寫出$y$的取值范圍。
解：$y$的取值范圍為
$-27＜y≤0$
。
答案：解析 (1) ∵拋物線y=a(x?h)2，當(dāng)x=2時，有最大值，∴拋物線的解析式為y=a(x?2)2，
∵拋物線過點(1,?3)，∴?3=a(1?2)2，解得a=?3，
∴此拋物線的解析式為y=?3(x?2)2。
(2) ∵拋物線的對稱軸為直線x=2，拋物線開口向下，
∴當(dāng)0＜x≤2時，y隨x的增大而增大，當(dāng)2＜x＜5時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=2時，y取最大值，為0，
∵|0 - 2|＜|5 - 2|，且當(dāng)x=5時，y=?27，
∴當(dāng)0＜x＜5時，y的取值范圍為?27＜y≤0。
8.「2023遼寧鞍山海城期中,★☆」如圖,拋物線$y= a(x+1)^{2}的頂點為A$,與$y軸的負半軸交于點B$,且$S_{\triangle AOB}= \frac {1}{2}$。
(1)求拋物線的解析式。
(2)若點$C是該拋物線上A$、$B$兩點之間的一動點,求$\triangle ABC$面積的最大值。
答案：解析 (1) 根據(jù)題意，得A(?1,0)，B(0,a)，a＜0，
∴OA=1，OB= -a，∵S△AOB = $\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$×1×( -a) = $\frac{1}{2}$，解得a=?1，∴拋物線的解析式為y=?(x+1)2。
(2) ∵A(?1,0)，B(0,?1)，
∴直線AB的解析式為y=?x?1，如圖，過C作x軸的垂線，
交直線AB于點D，設(shè)C(x,?(x+1)2)，則D(x,?x?1)，其中?1＜x＜0，∴CD=?(x+1)2 + x + 1，∵S△ABC = S△ACD + S△BCD = $\frac{1}{2}$[?(x+1)2 + x + 1]×1 = -$\frac{1}{2}$(x + $\frac{1}{2}$)2 + $\frac{1}{8}$，∵ -$\frac{1}{2}$＜0，?1＜x＜0，∴△ABC面積的最大值是$\frac{1}{8}$。
