10.學科易錯題「2025 四川德陽月考,★☆」對于二次函數(shù)$y= x^{2}$,在$-1≤x≤2$的范圍內(nèi)的最大值和最小值分別為 (
C
)
A.最大值為 4,最小值為 1
B.最大值為 2,最小值為-1
C.最大值為 4,最小值為 0
D.最大值為 1,最小值為 0
答案：C ∵ y = x2，∴ 二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線 x = 0，且開口向上，∴ 在 -1 ≤ x ≤ 2 的范圍內(nèi)，y 隨 x 的增大先減小后增大，故當 x = 0 時，函數(shù)有最小值，為 0，當 x = 2 時，函數(shù)有最大值，為 4。故選 C。
易錯點：易出現(xiàn)直接把兩個臨界值代入求出最大值和最小值的錯誤情況。
11.「2025 廣東江門江海月考,★☆」已知$a≠0$,在同一直角坐標系中,函數(shù)$y= ax與y= ax^{2}$的圖象有可能是 (
C
)
.
答案：C 當 a ＞ 0 時，函數(shù) y = ax 的圖象經(jīng)過第一、三象限，函數(shù) y = ax2 的圖象開口向上，且兩函數(shù)圖象都經(jīng)過點 (1, a)，無選項符合；當 a ＜ 0 時，函數(shù) y = ax 的圖象經(jīng)過第二、四象限，函數(shù) y = ax2 的圖象開口向下，且兩函數(shù)圖象都經(jīng)過點 (1, a)，選項 C 符合。故選 C。
12.「2025 北京房山期中,★☆」已知點$A(-1,3),B(3,3)$,若拋物線$y= ax^{2}$與線段 AB 只有一個公共點,則 a 的取值范圍是 ( )
A.$0\lt a≤\frac {1}{3}$
B.$0\lt a＜3$
C.$\frac {1}{3}\lt a＜3$
D.$\frac {1}{3}≤a＜3$
答案：D 當 a ＜ 0 時，拋物線開口向下，此時拋物線與線段 AB 沒有交點，不合題意；當 a ＞ 0 時，若拋物線 y = ax2 與線段 AB 只有一個公共點，則大致圖象如圖所示，∴ 當 x = 3 時，y ≥ 3；當 x = -1 時，y ＜ 3，即 {9a ≥ 3，a ＜ 3}，解得 1/3 ≤ a ＜ 3。故選 D。
13.「★☆」如圖,正方形四個頂點的坐標依次為$(1,1),(3,1),(3,3),(1,3)$.若拋物線$y= ax^{2}$與正方形有公共點,則實數(shù) a 的取值范圍是 (
A
)
A.$\frac {1}{9}≤a≤3$
B.$\frac {1}{9}≤a≤1$
C.$\frac {1}{3}≤a≤3$
D.$\frac {1}{3}≤a≤1$
答案：A ∵ |a| 越大，拋物線 y = ax2 開口越小。由題圖知，a ＞ 0，易知拋物線與正方形有公共點的臨界點分別為 (3, 1)、(1, 3)。
當拋物線經(jīng)過點 (1, 3) 時，a = 3；
當拋物線經(jīng)過點 (3, 1) 時，a = 1/9。
∴ 當拋物線 y = ax2 與正方形有公共點時，1/9 ≤ a ≤ 3。故選 A。
14.新推理能力新動態(tài)探究題 如圖,點 P 為拋物線$y= \frac {1}{4}x^{2}$上一動點.若直線 l 經(jīng)過 y 軸上一點 N,且平行于 x 軸,點 N 的坐標為$(0,-1)$,過點 P 作$PM⊥$直線 l 于 M.
(1)如圖 1,在拋物線的對稱軸上是否存在一定點 F,使得$PM= PF$恒成立? 若存在,求出點 F 的坐標;若不存在,請說明理由.
(2)如圖 2,若點 Q 的坐標為$(1,5)$,求$QP+PF$的最小值.
答案：解析 (1) 存在。設(shè) P(t, 1/4t2)，F(xiàn)(0, h)，
如圖，過點 P 作 PG⊥y 軸于點 G，則 G(0, 1/4t2)，
∴ FG = 1/4t2 - h，PG = t，PM = 1/4t2 - (-1) = 1/4t2 + 1，
若 PM = PF，則 PM2 = PF2 = PG2 + FG2，∴ (1/4t2 + 1)2 = t2 + (1/4t2 - h)2，化簡得 1/2t2 - 1/2t2h + h2 - 1 = 0，
∴ 1/2t2(1 - h) + (h + 1)(h - 1) = 0，
即 (h - 1)(h + 1 - 1/2t2) = 0，
因為點 P 為動點，所以當 h = 1 時，t 取任何值上述等式恒成立，∴ 存在定點 F(0, 1)，使 PM = PF 恒成立。
(2) ∵ PM = PF，∴ QP + PF = QP + PM。
當 Q，P，M 三點共線時，QP + PF 取最小值。
∵ Q(1, 5)，點 M 的縱坐標為 -1，∴ 當 QM⊥直線 l 時，QP + PF 的值最小，為 5 - (-1) = 6。
