9.「2025 北京第一六六中學期中, ★☆」用繩子圍成周長為 10 m 的矩形, 記矩形的一邊長為 $ x $ m, 它的鄰邊長為 $ y $ m, 矩形的面積為 $ S $ $ m^{2} $, 當 $ x $ 在一定范圍內(nèi)變化時, $ y $ 和 $ S $ 都隨 $ x $ 的變化而變化, 則 $ y $ 與 $ x $、$ S $ 與 $ x $ 滿足的函數(shù)關系分別是 (
A
)
A. 一次函數(shù)關系、二次函數(shù)關系
B. 正比例函數(shù)關系、二次函數(shù)關系
C. 二次函數(shù)關系、一次函數(shù)關系
D. 正比例函數(shù)關系、一次函數(shù)關系
答案：A
10.「2025 福建福州閩侯期中, ★☆」某商品每件進價為 20 元, 銷售期間發(fā)現(xiàn), 當每件商品的售價為 25 元時, 每天可售出 120 件, 銷售單價每降低 1 元, 每天銷量增加 10 件, 現(xiàn)商家決定降價銷售, 每件降價 $ x $ 元 ($ 0 ＜ x ＜ 5 $), 設每天的銷售量為 $ y $ 件, 每天銷售該商品獲得的利潤為 $ w $ 元, 則下列函數(shù)關系式正確的是 (
C
)
A. $ y = 10x - 120 $
B. $ y = -10x + 120 $
C. $ w = (10x + 120)(25 - 20 - x) $
D. $ w = (-10x + 120)(50 - x) $
答案：C
11.「2024 山東德州寧津月考, ★☆」如圖, 在 $ Rt\triangle AOB $ 中, $ AB \perp OB $, 且 $ AB = OB = 3 $, 設直線 $ x = t $ ($ 0 ＜ t ＜ 3 $) 截此三角形所得陰影部分的面積為 $ S $, 則 $ S $ 與 $ t $ 之間的函數(shù)關系式為 (
B
)
A. $ S = t $
B. $ S = \frac{1}{2}t^{2} $
C. $ S = t^{2} $
D. $ S = \frac{1}{2}t^{2} - 1 $
答案：答案 B
解析 由題意可知，陰影部分為等腰直角三角形，其直角邊長為 $ t $，根據(jù)三角形面積公式可得 $ S = \frac{1}{2}t^{2}(0\lt t\lt3)$，即$S=\frac {1}{2}t^{2}(0\lt t\lt3)$。故選 B。
12. 學科 易錯題「2025 山東德州齊河月考, ★☆」若函數(shù) $ y = (m^{2} + m)x^{m^{2} - 2m - 1} $ 是關于 $ x $ 的二次函數(shù), 則 $ m $ 的值是
3
.
答案：答案 3
解析 由$y=(m^{2}+m)x^{m^{2}-2m-1}$是關于 x 的二次函數(shù)，得$m^{2}-2m-1=2$且$m^{2}+m≠0$，解得$m=3$。
易錯點 易忽視二次項系數(shù)不為 0 的隱含條件。
13.「2025 廣東珠海香洲期中, ★☆」如圖, 正方形 $ EFGH $ 的四個頂點分別在邊長為 2 的正方形 $ ABCD $ 的四條邊上. 若設 $ AE = x $, 正方形 $ EFGH $ 的面積為 $ y $, 求 $ y $ 與 $ x $ 的函數(shù)解析式.
答案：解析 如圖所示:
∵ 四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形，
$\therefore ∠A=∠B=90^{\circ },AB=2,\therefore ∠1+∠2=90^{\circ }$。
∵ 四邊形 EFGH 為正方形，$\therefore ∠HEF=90^{\circ },EH=EF$，
$\therefore ∠1+∠3=90^{\circ },\therefore ∠2=∠3$。
在$\triangle AHE$與$\triangle BEF$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠B,\\ ∠2=∠3,\\ EH=FE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AHE\cong \triangle BEF(AAS),\therefore AE=BF=x,AH=BE=2 - x$。在$Rt\triangle AHE$中，由勾股定理得$EH^{2}=AE^{2}+AH^{2}=x^{2}+(2 - x)^{2}=2x^{2}-4x + 4$，$\therefore y=2x^{2}-4x + 4(0\leq x\leq2)$。
14. 新課標 推理能力 新 規(guī)律探究題 如圖, 用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設矩形地面, 請觀察圖形并解答下列問題.
(1) 在第 $ n $ 個圖形中, 每一橫行共有
$n+3$
塊瓷磚, 每一豎列共有
$n+2$
塊瓷磚. (均用含 $ n $ 的代數(shù)式表示)
(2) 設鋪設地面所用瓷磚的總塊數(shù)為 $ y $, 請寫出 $ y $ 與 $ n $ 的函數(shù)關系式.
$y=n^{2}+5n + 6$
(3) 按上述鋪設方案, 鋪一塊這樣的矩形地面共用了 106 塊黑色瓷磚, 求白色瓷磚共用多少塊.
650
答案：解析 (1)$(n + 3);(n + 2)$。
(2) 由(1)得，y 與 n 的函數(shù)關系式是$y=(n + 2)(n + 3)=n^{2}+5n + 6$。
(3) 由題圖可得，第 n 個圖形中白色瓷磚有$[n(n + 1)]$塊，則黑色瓷磚有$(n^{2}+5n + 6)-n(n + 1)=(4n + 6)$塊。當$4n + 6 = 106$時，$n = 25$，則白色瓷磚有$n(n + 1)=650$(塊)。
