14.「2024 四川遂寧中考」(8 分) 已知關(guān)于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m+2) x+m-1= 0$.
(1) 求證:無(wú)論 $m$ 取何值,方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
證明: $\because a=1, b=-(m+2), c=m-1$，$\therefore \Delta=b^{2}-4 a c=[-(m+2)]^{2}-4 × 1 ×(m-1)=m^{2}+4 m+4-4 m+4=m^{2}+8$.
$\because m^{2} \geqslant 0, \therefore \Delta＞0$.
$\therefore$ 無(wú)論 $m$ 取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(2) 如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 $x_{1}, x_{2}$, 且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}= 9$, 求 $m$ 的值.
解：由題意得 $x_{1}+x_{2}=m+2, x_{1} x_{2}=m-1$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}=9$，即 $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-3 x_{1} x_{2}=9$，
$\therefore(m+2)^{2}-3(m-1)=9$. 整理，得 $m^{2}+m-2=0$.
$\therefore(m+2)(m-1)=0$，解得 $m_{1}=-2, m_{2}=1$.
$\therefore m$ 的值為
-2 或 1
.
答案：解析 (1) 證明: $\because a=1, b=-(m+2), c=m-1$，$\therefore \Delta=b^{2}-4 a c=[-(m+2)]^{2}-4 \times 1 \times(m-1)=m^{2}+4 m+4-4 m+4=m^{2}+8$.
$\because m^{2} \geqslant 0, \therefore \Delta＞0$.
$\therefore$ 無(wú)論 $m$ 取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(2) 由題意得 $x_{1}+x_{2}=m+2, x_{1} x_{2}=m-1$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}=9$，即 $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-3 x_{1} x_{2}=9$，
$\therefore(m+2)^{2}-3(m-1)=9$. 整理，得 $m^{2}+m-2=0$.
$\therefore(m+2)(m-1)=0$，解得 $m_{1}=-2, m_{2}=1$.
$\therefore m$ 的值為 -2 或 1.
15. 新考向「2025 山西晉中榆次月考」(8 分) 閱讀材料,解答問(wèn)題.
解方程: $(4 x-1)^{2}-10(4 x-1)+24= 0$.
解: 把 $4 x-1$ 視為一個(gè)整體, 設(shè) $4 x-1= y$,
則原方程可化為 $y^{2}-10 y+24= 0$.
解得 $y_{1}= 6, y_{2}= 4$.
$\therefore 4 x-1= 6$ 或 $4 x-1= 4$.
$\therefore x_{1}= \frac{7}{4}, x_{2}= \frac{5}{4}$.
以上方法就叫換元法,利用換元法可以達(dá)到簡(jiǎn)化或降次的目的,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.
請(qǐng)仿照材料解下列方程:
(1) $x^{4}-x^{2}-6= 0$.
解：設(shè)
$x^{2}=y$
，則原方程可化為
$y^{2}-y-6=0$
，因式分解，得
$(y-3)(y+2)=0$
，解得
$y_{1}=3, y_{2}=-2$
.
當(dāng) $y=3$ 時(shí)，
$x^{2}=3$
，$\therefore x=$
$\pm \sqrt{3}$
；當(dāng) $y=-2$ 時(shí)，
$x^{2}=-2$
，無(wú)解.
$\therefore$ 原方程的解為
$x_{1}=\sqrt{3}, x_{2}=-\sqrt{3}$
.
(2) $\left(x^{2}-2 x\right)^{2}-5 x^{2}+10 x-6= 0$.
解：設(shè)
$x^{2}-2 x=y$
，則原方程可化為
$y^{2}-5 y-6=0$
，因式分解，得
$(y-6)(y+1)=0$
，解得
$y_{1}=6, y_{2}=-1$
.
當(dāng) $y=6$ 時(shí)，
$x^{2}-2 x=6$
，解得
$x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}$
；
當(dāng) $y=-1$ 時(shí)，
$x^{2}-2 x=-1$
，解得
$x_{3}=x_{4}=1$
.
綜上所述，原方程的解為
$x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}, x_{3}=x_{4}=1$
.
答案：解析 (1) 設(shè) $x^{2}=y$，則原方程可化為 $y^{2}-y-6=0$，因式分解，得 $(y-3)(y+2)=0$，解得 $y_{1}=3, y_{2}=-2$.
當(dāng) $y=3$ 時(shí)，$x^{2}=3, \therefore x= \pm \sqrt{3}$；當(dāng) $y=-2$ 時(shí)，$x^{2}=-2$，無(wú)解.
$\therefore$ 原方程的解為 $x_{1}=\sqrt{3}, x_{2}=-\sqrt{3}$.
(2) 設(shè) $x^{2}-2 x=y$，則原方程可化為 $y^{2}-5 y-6=0$，因式分解，得 $(y-6)(y+1)=0$，解得 $y_{1}=6, y_{2}=-1$.
當(dāng) $y=6$ 時(shí)，$x^{2}-2 x=6$，解得 $x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}$；
當(dāng) $y=-1$ 時(shí)，$x^{2}-2 x=-1$，解得 $x_{3}=x_{4}=1$.
綜上所述，原方程的解為 $x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}, x_{3}=x_{4}=1$.
16.「2025 河北秦皇島盧龍期中」(12 分) “一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)在全國(guó)各地積極開(kāi)展. 某品牌頭盔的銷(xiāo)量逐月增加, 某超市以每個(gè) 20 元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批該品牌頭盔, 當(dāng)該頭盔售價(jià)為 30 元/個(gè)時(shí),七月銷(xiāo)售 200 個(gè),八、九月該品牌頭盔銷(xiāo)量持續(xù)上漲,在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上,九月的銷(xiāo)量達(dá)到 288 個(gè).
(1) 求八、九兩月銷(xiāo)量的月平均增長(zhǎng)率.
(2) 十月該超市為了減少庫(kù)存,開(kāi)始降價(jià)促銷(xiāo),經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該品牌頭盔每個(gè)售價(jià)每降低 1 元,月銷(xiāo)量在九月銷(xiāo)量的基礎(chǔ)上增加 3 個(gè).
①設(shè)該品牌頭盔每個(gè)降價(jià) $x$ 元,則每個(gè)頭盔的利潤(rùn)為_(kāi)___
(10-x)
____元,該月銷(xiāo)售量是____
(288+3x)
____個(gè).(請(qǐng)用含 $x$ 的代數(shù)式表示)
②若該超市十月能獲利 1800 元,求每個(gè)頭盔的售價(jià).
答案：解析 (1) 設(shè)八、九兩月銷(xiāo)量的月平均增長(zhǎng)率為 $y$，根據(jù)題意，得 $200(1+y)^{2}=288$，解得 $y_{1}=0.2=20 \%, y_{2}=-2.2$ (不符合題意，舍去).
答: 八、九兩月銷(xiāo)量的月平均增長(zhǎng)率為 $20 \%$.
(2) ① $(10-x) ;(288+3 x)$.
② 設(shè)該品牌頭盔每個(gè)降價(jià) $a$ 元，
根據(jù)題意，得 $(10-a)(288+3 a)=1800$，
整理，得 $a^{2}+86 a-360=0$，
解得 $a_{1}=4, a_{2}=-90$ (不符合題意，舍去)，
$\therefore 30-a=30-4=26$ (元).
答: 每個(gè)頭盔的售價(jià)為 26 元.
