1.「2025 上海徐匯月考」下列方程中,是一元二次方程的為 (
D
)
A. $x+\frac{1}{x}= 2$
B. $a x^{2}+b x+c= 0$
C. $x(x+2)= x(x-1)$
D. $2 x^{2}= 5 x-7$
答案：D $A. x+\frac{1}{x}=2$ 是分式方程；B. 當(dāng) $a \neq 0$，且 $a$、$b$、$c$ 為常數(shù)時(shí)，$a x^{2}+b x+c=0$ 是一元二次方程；C. $x(x+2)=x(x-1)$ 整理后為 $3 x=0$，是一元一次方程；D. $2 x^{2}=5 x-7$ 是關(guān)于 $x$ 的一元二次方程. 故選 D.
2.「2025 重慶開(kāi)州月考」用配方法將一元二次方程 $x^{2}+4 x-1= 0$ 變形,結(jié)果正確的是 (
C
)
A. $(x+2)^{2}= 3$
B. $(x-2)^{2}= 5$
C. $(x+2)^{2}= 5$
D. $(x-2)^{2}= 3$
答案：C 原方程移項(xiàng)得 $x^{2}+4 x=1, \therefore x^{2}+4 x+4=1+4$，即 $(x+2)^{2}=5$. 故選 C.
3.「2025 河北保定曲陽(yáng)期中」已知 $m$ 是方程 $x^{2}-2 x-2020= 0$ 的一個(gè)根,則 $2 m^{2}-4 m$ 的值是 (
D
)
A. 2020
B. -2020
C. -4040
D. 4040
答案：D $\because m$ 是方程 $x^{2}-2 x-2020=0$ 的一個(gè)根，$\therefore m^{2}-2 m-2020=0, \therefore m^{2}-2 m=2020, \therefore 2 m^{2}-4 m=2\left(m^{2}-2 m\right)=2 \times 2020=4040$. 故選 D.
4.「2024 吉林中考」下列方程中,有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是 (
B
)
A. $(x-2)^{2}= -1$
B. $(x-2)^{2}= 0$
C. $(x-2)^{2}= 1$
D. $(x-2)^{2}= 2$
答案：B $A. \because-1＜0, \therefore$ 方程 $(x-2)^{2}=-1$ 沒(méi)有實(shí)數(shù)根；B. $\because(x-2)^{2}=0, \therefore x_{1}=x_{2}=2, \therefore$ 此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；C. $\because 1＞0, \therefore$ 方程 $(x-2)^{2}=1$ 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；D. $\because 2＞0, \therefore$ 方程 $(x-2)^{2}=2$ 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 故選 B.
5.「2024 云南中考」兩年前生產(chǎn) 1 千克甲種藥品的成本為 80 元,隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步,現(xiàn)在生產(chǎn) 1 千克甲種藥品的成本為 60 元.設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為 $x$,根據(jù)題意,下列方程正確的是 (
B
)
A. $80\left(1-x^{2}\right)= 60$
B. $80(1-x)^{2}= 60$
C. $80(1-x)= 60$
D. $80(1-2 x)= 60$
答案：B 兩年前生產(chǎn) 1 千克甲種藥品的成本為 80 元，甲種藥品成本的年平均下降率為 $x$，則去年生產(chǎn) 1 千克甲種藥品的成本為 $80(1-x)$ 元，現(xiàn)在生產(chǎn) 1 千克甲種藥品的成本為 $80(1-x)^{2}$ 元，已知現(xiàn)在的成本為 60 元，則可得方程為 $80(1-x)^{2}=60$. 故選 B.
6.「2025 湖南岳陽(yáng)月考」若菱形兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度是方程 $x^{2}-8 x+12= 0$ 的兩根,則該菱形的邊長(zhǎng)為 (
A
)
A. $\sqrt{10}$
B. 4
C. $2 \sqrt{10}$
D. 5
答案：A $\because x^{2}-8 x+12=0, \therefore(x-6)(x-2)=0$，解得 $x_{1}=6$，$x_{2}=2, \because$ 菱形兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度是方程 $x^{2}-8 x+12=0$ 的兩根，$\therefore$ 菱形兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為 $2,6, \therefore$ 菱形的邊長(zhǎng) $=\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{6}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$. 故選 A.
7. 若 $x^{2}-2 x-2= \left(x^{2}-4 x+3\right)^{0}$, 則 $x$ 的值為 (
A
)
A. -1
B. 3
C. 1
D. 3 或 -1
答案：A $\because x^{2}-2 x-2=\left(x^{2}-4 x+3\right)^{0}, \therefore x^{2}-2 x-2=1, x^{2}-4 x+3 \neq 0$. 由 $x^{2}-2 x-2=1$ 整理得 $x^{2}-2 x-3=0, \therefore(x-3)(x+1)=0, \therefore x=3$ 或 $x=-1$；由 $x^{2}-4 x+3 \neq 0$ 可知 $(x-3) \cdot(x-1) \neq 0, \therefore x \neq 3$ 且 $x \neq 1, \therefore x$ 的值為 -1. 故選 A.
易錯(cuò)點(diǎn) 易忽視 0 次冪的底數(shù)不為 0.
8. 學(xué)科教材變式「2025 山東濟(jì)寧金鄉(xiāng)月考」如圖所示,某市世紀(jì)廣場(chǎng)有一塊長(zhǎng) 18 m,寬 15 m 的長(zhǎng)方形綠地,在綠地中開(kāi)辟三條道路后剩余綠地的面積為 $224 \mathrm{~m}^{2}$, 則圖中 $x$ 的值為 (
A
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：A 根據(jù)題意，得剩余綠地可看成長(zhǎng)為 $(18-2 x) \mathrm{m}$，寬為 $(15-x) \mathrm{m}$ 的長(zhǎng)方形，$\therefore(18-2 x)(15-x)=224$，整理得 $x^{2}-24 x+23=0$，解得 $x_{1}=1, x_{2}=23$ (不符合題意，舍去)，$\therefore$ 題圖中 $x$ 的值為 1. 故選 A.
9.「2024 河南中考」若關(guān)于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2} x^{2}-x+c= 0$ 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則 $c$ 的值為_(kāi)___
$\frac{1}{2}$
.
答案：答案 $\frac{1}{2}$
解析 因?yàn)殛P(guān)于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2} x^{2}-x+c=0$ 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以 $\Delta=(-1)^{2}-4 \times \frac{1}{2} c=0$，解得 $c=\frac{1}{2}$.
10.「2024 江蘇無(wú)錫梁溪期中」若關(guān)于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1) x^{2}+5 x+m^{2}-3 m+2= 0$ 的常數(shù)項(xiàng)為 0,則 $m$ 的值為
2
.
答案：答案 2
解析 根據(jù)題意，得 $m^{2}-3 m+2=0$ 且 $m-1 \neq 0$，解得 $m=2$.
11.「2024 山東煙臺(tái)中考」若一元二次方程 $2 x^{2}-4 x-1= 0$ 的兩根為 $m, n$, 則 $3 m^{2}-4 m+n^{2}$ 的值為_(kāi)___
6
.
答案：答案 6
解析 $\because$ 一元二次方程 $2 x^{2}-4 x-1=0$ 的兩根為 $m, n$，$\therefore 2 m^{2}-4 m=1, m+n=-\frac{-4}{2}=2, m n=-\frac{1}{2}, \therefore 3 m^{2}-4 m+n^{2}=2 m^{2}-4 m+m^{2}+n^{2}=1+(m+n)^{2}-2 m n=1+2^{2}-2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=6$.
12.「2024 四川涼山州中考」已知 $y^{2}-x= 0, x^{2}-3 y^{2}+x-3= 0$, 則 $x$ 的值為
3
.
答案：答案 3
解析 $\because y^{2}-x=0, \therefore y^{2}=x \geqslant 0, \because x^{2}-3 y^{2}+x-3=0$，$\therefore x^{2}-3 x+x-3=0$，即 $x^{2}-2 x-3=0$，解得 $x_{1}=3, x_{2}=-1$ (舍去)，即 $x$ 的值為 3.
易錯(cuò)點(diǎn) 易忽略隱藏條件 $x=y^{2} \geqslant 0$.
13. (12 分) 解下列方程:
(1) $2 x^{2}-4 x+1= 0$.
$\because a=2, b=-4, c=1, \therefore \Delta=b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-4 × 2 × 1=8, \therefore$ 該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，$\therefore x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore x_{1}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) $x^{2}+2 x-2= 0$.
移項(xiàng)，得 $x^{2}+2 x=2$，配方，得 $x^{2}+2 x+1=2+1$，即 $(x+1)^{2}=3$，直接開(kāi)平方，得 $x+1= \pm \sqrt{3}, \therefore x_{1}=-1+\sqrt{3}, x_{2}=-1-\sqrt{3}$
(3) $x^{2}-x= 2 x-2$.
整理，得 $x(x-1)-2(x-1)=0$，因式分解，得 $(x-2)(x-1)=0$，$\therefore x-2=0$ 或 $x-1=0, \therefore x_{1}=2, x_{2}=1$
(4) $(x-2)^{2}= (2 x-1)(x-2)$.
移項(xiàng)，得 $(x-2)^{2}-(2 x-1)(x-2)=0$，因式分解，得 $(x-2)[(x-2)-(2 x-1)]=0$，即 $(x-2)(-x-1)=0$，$\therefore x-2=0$ 或 $-x-1=0, \therefore x_{1}=2, x_{2}=-1$
答案：解析 (1) $\because a=2, b=-4, c=1, \therefore \Delta=b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-4 \times 2 \times 1=8, \therefore$ 該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，$\therefore x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore x_{1}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2) 移項(xiàng)，得 $x^{2}+2 x=2$，配方，得 $x^{2}+2 x+1=2+1$，即 $(x+1)^{2}=3$，直接開(kāi)平方，得 $x+1= \pm \sqrt{3}, \therefore x_{1}=-1+\sqrt{3}, x_{2}=-1-\sqrt{3}$.
(3) 整理，得 $x(x-1)-2(x-1)=0$，因式分解，得 $(x-2)(x-1)=0$，$\therefore x-2=0$ 或 $x-1=0, \therefore x_{1}=2, x_{2}=1$.
(4) 移項(xiàng)，得 $(x-2)^{2}-(2 x-1)(x-2)=0$，因式分解，得 $(x-2)[(x-2)-(2 x-1)]=0$，即 $(x-2)(x+1)=0$，$\therefore x-2=0$ 或 $x+1=0, \therefore x_{1}=2, x_{2}=-1$.
