10.「2024 四川眉山中考」如圖,二次函數(shù) $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的圖象與 $ x $ 軸交于點(diǎn) $ A(3,0) $,與 $ y $ 軸交于點(diǎn) $ B $,對(duì)稱軸為直線 $ x = 1 $,下列四個(gè)結(jié)論:①$ bc ＜ 0 $;②$ 3a + 2c ＜ 0 $;③$ ax^2 + bx \geq a + b $;④若$ -2 ＜ c ＜ -1 $,則$ -\frac{8}{3} ＜ a + b + c ＜ -\frac{4}{3} $,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 (
C
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：10. C ①$\because $函數(shù)圖象開(kāi)口向上,$\therefore a＞0$,∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè),∴a、b異號(hào),$\therefore b＜0$,∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上,$\therefore c＜0,\therefore bc＞0$,故①錯(cuò)誤;②$\because $二次函數(shù)$y=ax^{2}+bx+c$的圖象與x軸交于點(diǎn)$A(3,0)$,與y軸交于點(diǎn)B,對(duì)稱軸為直線$x = 1,\therefore -\frac {2a}=1$,拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為$(-1,0),\therefore b=-2a,a - b + c = 0,\therefore 3a + c = 0,\therefore 3a + 2c＜0$,故②正確;③$\because $拋物線對(duì)稱軸為直線$x = 1,a＞0,\therefore ax^{2}+bx+c\geq a + b + c$,即$ax^{2}+bx\geq a + b$,故③正確;④$\because (-1)\times3=-3=\frac {c}{a},\therefore c=-3a,\because -2＜c＜-1,\therefore -2＜-3a＜-1,\therefore \frac {1}{3}＜a＜\frac {2}{3},\because b=-2a,\therefore a + b + c=a - 2a - 3a=-4a,\therefore -\frac {8}{3}＜a + b + c＜-\frac {4}{3}$,故④正確.綜上所述,正確的有②③④.故選C.
11.「2025 河南駐馬店西平期中」在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) $ A(-2,1) $ 與點(diǎn) $ B(a,b) $ 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則 $ a^b = $____
$\frac{1}{2}$
.
答案：11. 答案 $\frac {1}{2}$解析 $\because $點(diǎn)$A(-2,1)$與點(diǎn)$B(a,b)$關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,$\therefore a = 2,b = -1,\therefore a^=2^{-1}=\frac {1}{2}$.
12.「2023 上海中考」二次函數(shù) $ y = ax^2 + bx + c $ 的圖象的頂點(diǎn)在 $ y $ 軸正半軸上,且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的,那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是
$y=-x^{2}+1$（答案不唯一）
.
答案：12. 答案 $y=-x^{2}+1$（答案不唯一）解析 由題意得$b = 0,a＜0,c＞0,\therefore $這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是$y=-x^{2}+1$. (答案不唯一)
13.「2025 重慶江津期末」已知二次函數(shù) $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的部分圖象如圖所示,則關(guān)于 $ x $ 的不等式 $ ax^2 + bx + c ＞ 0 $ 的解集為
$-1＜x＜3$
.
答案：13. 答案 $-1＜x＜3$解析 由題圖可知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是$(-1,0)$,對(duì)稱軸為直線$x = 1,\therefore $拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為$(3,0),\therefore $當(dāng)$y＞0$時(shí),$-1＜x＜3,\therefore $關(guān)于x的不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集為$-1＜x＜3$.
14.「2024 四川成都中考」盒中有 $ x $ 枚黑棋和 $ y $ 枚白棋,這些棋除顏色外無(wú)其他差別.從盒中隨機(jī)取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是$\frac{3}{8}$,則$\frac{x}{y}$的值為_(kāi)___
$\frac{3}{5}$
.
答案：14. 答案 $\frac {3}{5}$解析 $\because $盒中有x枚黑棋和y枚白棋,$\therefore $共有$(x + y)$枚棋,$\because $從盒中隨機(jī)取出一枚棋是黑棋的概率是$\frac {3}{8}$,$\therefore $可得關(guān)系式$\frac {x}{x + y}=\frac {3}{8},\therefore 8x = 3x + 3y$,即$5x = 3y,\therefore \frac {x}{y}=\frac {3}{5}$.
15.「2025 湖北武漢江岸期中」如圖,點(diǎn) $ A,B,C $ 在 $ \odot O $ 上,$ \angle ABC $ 與 $ \angle ACB $ 的平分線交于點(diǎn) $ P $,$ M $ 為 $ \odot O $ 上不同于點(diǎn) $ B,C $ 的一點(diǎn),若 $ \angle BPC = 130^\circ $,則 $ \angle BMC = $
$80^{\circ }$或$100^{\circ }$
.
答案：15. 答案 $80^{\circ }$或$100^{\circ }$解析 $\because ∠BPC=130^{\circ },\therefore ∠PBC+∠PCB=180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ },\because BP$平分$∠ABC$,CP平分$∠ACB,\therefore ∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,\therefore ∠ABC+∠ACB=2(∠PBC+∠PCB)=100^{\circ },\therefore ∠BAC=180^{\circ }-100^{\circ }=80^{\circ }$,當(dāng)M在優(yōu)弧BC上時(shí),$∠BMC=∠BAC=80^{\circ }$,當(dāng)M在劣弧BC上時(shí),由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得$∠BMC=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ },\therefore ∠BMC=80^{\circ }$或$100^{\circ }$.
16.若實(shí)數(shù) $ a、b $ 分別滿足 $ a^2 - 4a + 3 = 0,b^2 - 4b + 3 = 0 $,且 $ a \neq b $,則$\frac{1}{a} + \frac{1}$的值為_(kāi)___
$\frac{4}{3}$
.
答案：16. 答案 $\frac {4}{3}$解析 $\because $實(shí)數(shù)a、b分別滿足$a^{2}-4a + 3 = 0,b^{2}-4b + 3 = 0$,且$a≠b,\therefore a$、b可看作方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則$a + b = 4,ab = 3$,則原式$=\frac {a + b}{ab}=\frac {4}{3}$.
17.「2024 江蘇蘇州中考」二次函數(shù) $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的圖象過(guò)點(diǎn) $ A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,-m) $,其中 $ m,n $ 為常數(shù),則$\frac{m}{n}$的值為_(kāi)___
$-\frac{3}{5}$
.
答案：17. 答案 $-\frac {3}{5}$解析 將$A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)$代入$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$,得$\left\{\begin{array}{l} c = m\\ a + b + c = -m\\ 9a + 3b + c = -m\end{array}\right. $,$\therefore \left\{\begin{array}{l} a=\frac {2}{3}m\\ b=-\frac {8}{3}m\\ c = m\end{array}\right. $,$\therefore y=\frac {2}{3}mx^{2}-\frac {8}{3}mx + m$,把$C(2,n)$代入$y=\frac {2}{3}mx^{2}-\frac {8}{3}mx + m$,得$n=\frac {2}{3}m\times2^{2}-\frac {8}{3}m\times2 + m,\therefore n=-\frac {5}{3}m,\therefore \frac {m}{n}=-\frac {3}{5}$.
18.「2024 江蘇蘇州中考改編」如圖,矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = \sqrt{3},BC = 1 $,動(dòng)點(diǎn) $ E,F $ 分別從點(diǎn) $ A,C $ 同時(shí)出發(fā),以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 $ AB,CD $ 向終點(diǎn) $ B,D $ 運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn) $ E,F $ 作直線 $ l $,過(guò)點(diǎn) $ A $ 作直線 $ l $ 的垂線,垂足為 $ G $,則 $ AG $ 的最大值為_(kāi)___.
答案：18. 答案 1解析 連接AC,交EF于點(diǎn)O,取OA的中點(diǎn)H,連接GH,如圖所示.
$\because $四邊形ABCD是矩形,$\therefore ∠ABC=90^{\circ },AB// CD,\therefore $在$Rt△ABC$中,$AC=\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt {(\sqrt {3})^{2}+1^{2}}=2,\because AB// CD,\therefore ∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO$,在$△AOE$與$△COF$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EAO=∠FCO\\ AE = CF\\ ∠AEO=∠CFO\end{array}\right. $,$\therefore △AOE\cong △COF(ASA),\therefore OA=OC=\frac {1}{2}AC=1,\because AG⊥EF$,H是OA的中點(diǎn),$\therefore GH=\frac {1}{2}AO=\frac {1}{2},\therefore G$的軌跡為以H為圓心,$\frac {1}{2}$為半徑,即AO為直徑的圓弧.$\therefore AG$的最大值為AO的長(zhǎng),即$AG_{max}=AO=1$.
19.「2025 江蘇無(wú)錫錫山期末」(6 分)解方程:
(1)$ x^2 - 4x + 1 = 0 $.
解：移項(xiàng)，得$x^{2}-4x=-1$，配方，得$x^{2}-4x + 4=-1 + 4$，即$(x - 2)^{2}=3$，開(kāi)平方，得$x - 2=\pm \sqrt {3}$，解得
$x_{1}=2+\sqrt {3},x_{2}=2-\sqrt {3}$
.
(2)$ x(2x - 5) = 4x - 10 $.
解：原方程整理得$x(2x - 5)-2(2x - 5)=0$，提公因式，得$(2x - 5)(x - 2)=0$，$\therefore 2x - 5 = 0$或$x - 2 = 0$，解得
$x_{1}=\frac {5}{2},x_{2}=2$
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答案：19. 解析 (1)移項(xiàng),得$x^{2}-4x=-1$,配方,得$x^{2}-4x + 4=-1 + 4$,即$(x - 2)^{2}=3$,開(kāi)平方,得$x - 2=\pm \sqrt {3}$,解得$x_{1}=2+\sqrt {3},x_{2}=2-\sqrt {3}$. ………………… (3分)(2)原方程整理得$x(2x - 5)-2(2x - 5)=0$,提公因式,得$(2x - 5)(x - 2)=0,\therefore 2x - 5 = 0$或$x - 2 = 0$,解得$x_{1}=\frac {5}{2},x_{2}=2$. …………………………… (6分)
