3.「2024 山西中考」綜合與實踐
問題情境：如圖 1,矩形$MNKL$是學(xué)?；▓@的示意圖,其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段$AB$組成的封閉圖形,點(diǎn)$A$,$B在矩形的邊MN$上.現(xiàn)要對該花壇內(nèi)種植區(qū)域進(jìn)行劃分,以種植不同花卉,學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計方案.
方案設(shè)計：如圖 2,$AB = 6$米,$AB的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)P$,與$AB交于點(diǎn)O$,點(diǎn)$P$是拋物線的頂點(diǎn),且$PO = 9$米.欣欣設(shè)計的方案如下：
第一步：在線段$OP上確定點(diǎn)C$,使$∠ACB = 90^{\circ}$.用籬笆沿線段$AC$,$BC分隔出△ABC$區(qū)域,種植串串紅；
第二步：在線段$CP上取點(diǎn)F$(不與$C$,$P$重合),過點(diǎn)$F作AB$的平行線,交拋物線于點(diǎn)$D$,$E$.用籬笆沿$DE$,$CF將線段AC$,$BC$與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分,分別種植不同花色的月季.
方案實施：學(xué)校采用了欣欣的方案,在完成第一步$△ABC$區(qū)域的分隔后,發(fā)現(xiàn)僅剩 6 米籬笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完 6 米材料,需確定$DE與CF$的長.為此,欣欣在圖 2 中以$AB所在直線為x$軸,$OP所在直線為y$軸建立平面直角坐標(biāo)系.請按照她的方法解決問題：
(1)在圖 2 中畫出坐標(biāo)系,并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
(2)求 6 米材料恰好用完時$DE與CF$的長.
(3)種植區(qū)域分隔完成后,欣欣又想用燈帶對該花壇進(jìn)行裝飾,計劃將燈帶圍成一個矩形.她嘗試借助圖 2 設(shè)計矩形四個頂點(diǎn)的位置,其中兩個頂點(diǎn)在拋物線上,另外兩個頂點(diǎn)分別在線段$AC$,$BC$上.直接寫出符合設(shè)計要求的矩形周長的最大值.
答案：解析
(1) 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。
$\because OP$所在直線是$AB$的垂直平分線，且$AB = 6$，$\therefore OA = OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6 = 3$。$\therefore$點(diǎn)$B$的坐標(biāo)為$(3,0)$。$\because OP = 9$，$\therefore$點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(0,9)$。$\because$點(diǎn)$P$是拋物線的頂點(diǎn)，$\therefore$設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為$y = ax^{2}+9$。$\because$點(diǎn)$B(3,0)$在拋物線$y = ax^{2}+9$上，$\therefore 9a + 9 = 0$，解得$a = -1$。$\therefore$拋物線的函數(shù)表達(dá)式為$y = -x^{2}+9(-3\leqslant x\leqslant 3)$。
(2) $\because$點(diǎn)$D$，$E$在拋物線$y = -x^{2}+9$上，$\therefore$設(shè)點(diǎn)$E$的坐標(biāo)為$(m,-m^{2}+9)$。$\because DE// AB$，交$y$軸于點(diǎn)$F$，$\therefore DF = EF = m$，$OF = -m^{2}+9$。$\therefore DE = 2m$。$\because$在$Rt\triangle ABC$中，$∠ACB = 90^{\circ}$，$OA = OB$，$\therefore OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6 = 3$。$\therefore CF = OF - OC = -m^{2}+9 - 3 = -m^{2}+6$。根據(jù)題意，得$DE + CF = 6$，$\therefore -m^{2}+6 + 2m = 6$。解得$m_{1}=2$，$m_{2}=0$（不符合題意，舍去），$\therefore m = 2$。$\therefore DE = 2m = 4$，$CF = -m^{2}+6 = 2$。
答：$DE$的長為$4$米，$CF$的長為$2$米。
(3) $\frac{33}{2}$。
詳解：設(shè)矩形位于拋物線上的兩個頂點(diǎn)分別為$J$，$I$，位于$AC$，$BC$上的兩個頂點(diǎn)分別為$G$，$H$，如圖。
設(shè)點(diǎn)$I$的橫坐標(biāo)為$n$，則點(diǎn)$I$的坐標(biāo)為$(n,-n^{2}+9)$，點(diǎn)$J$的坐標(biāo)為$(-n,-n^{2}+9)$，$\therefore JI = 2n$。
設(shè)$BC$所在直線的解析式為$y = kx + b$，易知$C(0,3)$，把$B(3,0)$，$C(0,3)$代入得$\left\{\begin{array}{l} 3k + b = 0,\\ b = 3,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} k = -1,\\ b = 3,\end{array}\right.$ $\therefore y = -x + 3$，$\therefore$點(diǎn)$H$的坐標(biāo)為$(n,-n + 3)$，
$\therefore IH = -n^{2}+9 - (-n + 3)= -n^{2}+n + 6$，
$\therefore$矩形$JIHG$的周長$= 2JI + 2IH = 4n + 2(-n^{2}+n + 6)= -2n^{2}+6n + 12 = -2(n - \frac{3}{2})^{2}+\frac{33}{2}$。
$\therefore$當(dāng)$n=\frac{3}{2}$時，矩形$JIHG$的周長有最大值，最大值為$\frac{33}{2}$。
