1.「2024 內(nèi)蒙古通遼中考」手工課堂上,老師給每個制作小組發(fā)
放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具.同學們認真觀察后,組裝了花折傘的骨架,粘貼了彩色傘面,制作出精美的花折傘.
【模型建立】
(1)如圖 1,從花折傘中抽象出“牽形圖”,$AM = AN$,$DM = DN$.求證$∠AMD = ∠AND$.
【模型應用】
(2)如圖 2,在$△AMC$中,$∠MAC的平分線AD交MC于點D$.請你從以下兩個條件：①$∠AMD = 2∠C$；②$AC = AM + MD$中選擇一個作為已知條件,另一個作為結(jié)論,并寫出結(jié)論成立的證明過程.(注：只需選擇一種情況作答)
【拓展提升】
(3)如圖 3,$AC為\odot O$的直徑,$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$,$∠BAC的平分線AD交BC于點E$,交$\odot O于點D$,連接$CD$.求證：$AE = 2CD$.
答案：解析
(1) 證明：在$\triangle ADM$和$\triangle ADN$中，$\left\{\begin{array}{l} AM = AN,\\ DM = DN,\\ AD = AD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ADM\cong \triangle ADN(SSS)$，
$\therefore ∠AMD = ∠AND$。
(2) 選擇②為條件，①為結(jié)論，
如圖，在$AC$上取點$N$，使$AN = AM$，連接$DN$，
$\because AD$平分$∠MAC$，$\therefore ∠DAM = ∠DAN$，
在$\triangle ADM$和$\triangle ADN$中，
$\because AM = AN$，$∠DAM = ∠DAN$，$AD = AD$，
$\therefore \triangle ADM\cong \triangle ADN(SAS)$，
$\therefore DM = DN$，$∠AMD = ∠AND$，
$\because AC = AM + MD$，$AC = AN + NC$，
$\therefore DM = CN$，$\therefore DN = CN$，$\therefore ∠C = ∠CDN$，
$\therefore ∠AMD = ∠AND = ∠CDN + ∠C = 2∠C$。
(亦可選擇①為條件，②為結(jié)論，證明略)
(3) 證明：如圖，連接$BD$，取$AE$的中點$F$，連接$BF$，
$\because AD$平分$∠BAC$，$\therefore ∠BAD = ∠DAC$，$\therefore \overset{\frown}{DC} = \overset{\frown}{BD}$，
$\therefore BD = CD$，$\therefore ∠BCD = ∠CBD$，$\because AC$為$\odot O$的直徑，
$\therefore ∠ABC = 90^{\circ}$，$\therefore AE = 2BF = 2AF$，$\therefore ∠ABF = ∠BAF$，
$\because ∠BAF = ∠BCD$，$\therefore ∠ABF = ∠CBD$，$\because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AB = BC$，$\therefore \triangle ABF\cong \triangle CBD(ASA)$，$\therefore BF = BD = CD$，
$\therefore AE = 2CD$。
