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 示意圖：

 A (大樹頂)

|

 | 13m

|

 D-------C (小樹頂)

 |       |

 12m   |       | 8m

 |       |

 B-------E (地面)

（說明：$AB$為大樹，高度$AB=13\,\text{m}；$$CE$為小樹，高度$CE=8\,\text{m}；$兩樹水平距離$BE=12\,\text{m}，$過$C$作$CD \perp AB$于$D，$則$CD=BE=12\,\text{m}，$$AD=AB-CE=13-8=5\,\text{m}，$$AC$為小鳥飛行的最短路程。）

求解過程：

因為兩點之間線段最短，小鳥飛行的最短路程為線段$AC。$

在$Rt\triangle ADC$中，$AD=5\,\text{m}，$$CD=12\,\text{m}，$根據勾股定理：

$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

所以$AC = \sqrt{169} = 13\,\text{m}。$

答： 小鳥飛行的最短路程是$\boxed{13}$米。

圖②中兩個小正方形面積分別為$S_2 = a^2，$$S_3 = b^2，$4個直角三角形面積和為$4\times\frac{1}{2}ab = 2ab，$故圖②總面積為$S_2 + S_3 + 2ab = a^2 + b^2 + 2ab。$

圖③中小正方形$S_1$的邊長為$c$（直角三角形斜邊），面積$S_1 = c^2，$4個直角三角形面積和為$2ab，$故圖③總面積為$S_1 + 2ab = c^2 + 2ab。$

因圖②與圖③均由4個全等直角三角形拼成，總面積相等，即$a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab，$化簡得$S_2 + S_3 = S_1，$且$a^2 + b^2 = c^2。$

(1) 24；25

(2)

①Ⅰ. 當$k=12$時，不滿足法則(Ⅰ)（$k$需為奇數），舍去；

法則(Ⅱ)：

$k=12$，則

$\left(\frac{12}{2}\right)^2 - 1 = 35$，

$\left(\frac{12}{2}\right)^2 + 1 = 37$，

故另外兩個數為35，37。

Ⅱ. 當$\frac{k^2-1}{2}=12$時，解得$k=5$（$k$為奇數），

則$\frac{k^2+1}{2} = 13$，

故另外兩個數為5，13。

綜上，另外兩個數為35，37或5，13。

②證明法則(Ⅰ)：

設$k$為大于1的奇數，則

$k^2 + \left(\frac{k^2-1}{2}\right)^2 = k^2 + \frac{k^4 - 2k^2 + 1}{4} = \frac{k^4 + 2k^2 + 1}{4} = \left(\frac{k^2+1}{2}\right)^2$，

故$k$，$\frac{k^2-1}{2}$，$\frac{k^2+1}{2}$構成勾股數。

或證明法則(Ⅱ)：

設$k$為大于2的偶數，則

$k^2 + \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1\right)^2 = k^2 + \left(\frac{k^2}{4} - 1\right)^2 = \frac{k^4}{16} + \frac{k^2}{2} + 1 = \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1\right)^2$，

故$k$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1$構成勾股數。

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