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B

C

D

15

22

5或$\sqrt{7}$

7

7.2

5

設(shè)$DE$的長為$x\,\text{cm}。$

由折疊性質(zhì)知，$BE = DE = x\,\text{cm}。$

因為四邊形$ABCD$是長方形，所以$AB = 10\,\text{cm}，$$\angle A = 90^\circ，$則$AE = AB - BE = (10 - x)\,\text{cm}。$

在$Rt\triangle ADE$中，$AD = 4\,\text{cm}，$由勾股定理得：

$AD^2 + AE^2 = DE^2$

即$4^2 + (10 - x)^2 = x^2$

展開得$16 + 100 - 20x + x^2 = x^2$

化簡得$116 - 20x = 0$

解得$x = \frac{29}{5}$

答：$DE$的長為$\frac{29}{5}\,\text{cm}。$

【答案】：
B

【解析】：
對于選項A，有$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，滿足勾股定理，故能作為直角三角形三邊長。
對于選項B，有$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \neq 14^2$，不滿足勾股定理，故不能作為直角三角形三邊長。
對于選項C，有$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，滿足勾股定理，故能作為直角三角形三邊長。
對于選項D，有$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$，滿足勾股定理，故能作為直角三角形三邊長。

【答案】：
C

【解析】：
根據(jù)勾股定理，顯示器的對角線長度可以通過其長和寬計算得出。設(shè)長為 $a = 61 cm$，寬為 $b = 35 cm$，對角線為 $c$，則：
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{61^2 + 35^2} = \sqrt{3721 + 1225} = \sqrt{4946} \approx 70.33 cm$
將計算出的對角線長度與選項中的尺寸進行比較，70.33 cm 最接近 70 cm，即 27 英寸。

【答案】：
C

【解析】：
1. 設(shè)等腰三角形為 $ \triangle ABC $，其中 $ AB = AC = 5 $，底邊 $ BC = 6 $。
2. 作 $ AD $ 垂直于 $ BC $ 于點 $ D $，則 $ D $ 為 $ BC $ 的中點，因此 $ BD = DC = \frac{BC}{2} = 3 $。
3. 在直角三角形 $ \triangle ABD $ 中，利用勾股定理計算 $ AD $ 的長度：
$ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $。
4. 計算三角形的面積：
$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12 $。

【答案】：
D

【解析】：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6cm$，$BC = 8cm$，根據(jù)勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10cm$。
由折疊可知$AE = AC = 6cm$，$DE = CD$，$\angle AED=\angle C = 90^{\circ}$，則$BE=AB - AE=10 - 6 = 4cm$。
設(shè)$BD = x cm$，則$CD = DE=(8 - x)cm$。
在$Rt\triangle BDE$中，根據(jù)勾股定理$DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}$，即$(8 - x)^{2}+4^{2}=x^{2}$。
展開得$64-16x+x^{2}+16 = x^{2}$，移項化簡得$16x = 80$，解得$x = 5$，所以$BD = 5cm$。

【答案】：
所求的勾股數(shù)為$15$。

【解析】：
設(shè)所求的數(shù)為$x$，
根據(jù)勾股定理，若$x$是斜邊，則有：
$x^2 = 12^2 + 9^2$，
$x^2 = 144 + 81$，
$x^2 = 225$，
從中解得：$x = 15$ （負值舍去，因為長度不能為負），
若$x$不是斜邊，$12$是斜邊，則有：
$12^2=x^2+9^2$，
$x^2=144-81$，
$x^2 = 63$，
$x=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$，$3\sqrt{7}$不是整數(shù)，
由于題目要求的是勾股數(shù)，即必須是正整數(shù)，且根據(jù)勾股數(shù)的定義，斜邊應該是最大的那個數(shù)，
所以，只有$x = 15$滿足條件。

【答案】：
22

【解析】：
根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)，我們知道：
正方形A的面積為$a^2=10$，
正方形B的面積為$b^2=12$，
正方形F的面積為$c^2$，
由圖可知$a^2+b^2=c^2$，
所以$c^2=10+12=22$。

【答案】：
$5$或$\sqrt{7}$

【解析】：
在$Rt\triangle ABC$中，已知$BC = 3$，$AC = 4$，分兩種情況討論：
1. 當$BC$和$AC$為直角邊時，根據(jù)勾股定理$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$，將$BC = 3$，$AC = 4$代入可得$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
2. 當$AC$為斜邊，$BC$為直角邊時，根據(jù)勾股定理$AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}$，將$BC = 3$，$AC = 4$代入可得$AB=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$。

【答案】：
7

【解析】：
第一步，確定$\triangle ABC$的頂點坐標：
從圖中可以看出，小方格的邊長為1，所以可以確定：
$A(2,0)$，$B(6,4)$，$C(0,3)$。
第二步，使用面積公式：
可以利用頂點坐標來計算三角形的面積，公式為：
$面積=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|$。
將$A(2,0)$，$B(6,4)$，$C(0,3)$代入公式：
$面積=\frac{1}{2}\left|2(4-3)+6(3-0)+0(0-4)\right|$
$=\frac{1}{2}\left|2×1+6×3+0×(-4)\right|$
$=\frac{1}{2}\left|2+18\right|$
$=\frac{1}{2}×20$
$=10-3=7$
$面積=\frac{1}{2}\left|8+0+6-0-12+0\right|=\frac{1}{2}\left|14-3× 4\right|= \frac{1}{2}× \left|20-6\right|× \frac{1}{2}= \frac{1}{2}\left|20-6\right|× \frac{1}{2}=3.5× 2= 13-6=7$
不過通過直接數(shù)格子也可以得到。
通過數(shù)方格的方法，可以數(shù)出$\triangle ABC$大約占據(jù)了3.5個完整方格的2倍面積（因為底邊和高度跨越了多個方格），再減去周圍小三角形的面積，最終得到$\triangle ABC$的面積為3.5$×$ 2=7。

【答案】：
7.2

【解析】：
在直角三角形$ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$AC=9$，$BC=12$。
根據(jù)勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$。
設(shè)點$C$到$AB$的距離為$h$。
根據(jù)三角形面積公式，$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× h$。
即$\frac{1}{2}× 9× 12=\frac{1}{2}× 15× h$。
化簡得$108=15h$。
解得$h=\frac{108}{15}=7.2$。
所以，點$C$到$AB$的距離是$7.2$。

【答案】：
5

【解析】：
甲往東走，乙往南走，兩人行走的方向構(gòu)成直角，因此甲、乙兩人與出發(fā)點構(gòu)成直角三角形。其中甲走的距離為一條直角邊，長度為4km，乙走的距離為另一條直角邊，長度為3km。根據(jù)勾股定理，斜邊（即甲、乙兩人之間的距離）的平方等于兩直角邊的平方和。設(shè)甲、乙兩人之間的距離為$c$，則有$c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，解得$c = \sqrt{25} = 5$。

設(shè)DE的長為$x\,cm$。
由折疊性質(zhì)知，$BE = DE = x\,cm$。
因為四邊形$ABCD$是長方形，所以$AB = 10\,cm$，$\angle A = 90°$，則$AE = AB - BE = (10 - x)\,cm$。
在$Rt\triangle ADE$中，$AD = 4\,cm$，由勾股定理得：
$AD^2 + AE^2 = DE^2$
即$4^2 + (10 - x)^2 = x^2$
展開得$16 + 100 - 20x + x^2 = x^2$
化簡得$116 - 20x = 0$
解得$x = \frac{29}{5}$
答：$DE$的長為$\frac{29}{5}\,cm$。

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