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電子課本網(wǎng) › 第122頁

第122頁

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解：
∵DE垂直平分AB，E在DE上，
∴EA=EB（垂直平分線性質(zhì)）。
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA=45°，即∠BAC=45°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180° - ∠BAC}{2}=\frac{180° - 45°}{2}=67.5°。$
∵AF⊥BC，AB=AC，
∴F為BC中點（等腰三角形三線合一）。
∵BE⊥AC，
∴△BEC為直角三角形，
∵F為BC中點，
∴EF=FC（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半）。
在△EFC中，EF=FC，
∴∠FEC=∠FCE=∠ACB=67.5°，
∴∠EFC=180° - 2×67.5°=45°。
答：∠EFC的度數(shù)為45°。
證明：（1）
∵∠C=30°，∠ABE=2∠C，
∴∠ABE=60°.
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠ABE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形中30°角所對直角邊是斜邊的一半），
∴AB=2BE.
（2）延長BE交AC于點F.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE.
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠AEF=90°.
在△AEB和△AEF中，
$\begin{cases} ∠BAE=∠FAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEF \end{cases}$
∴△AEB≌△AEF(ASA).
∴AB=AF，BE=EF，∠ABF=∠AFB.
∵∠ABF=2∠C，
∴∠AFB=2∠C.
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠AFB=∠FBC+∠C.
∴2∠C=∠FBC+∠C，
∴∠FBC=∠C.
∴BF=FC（等角對等邊）.
∵BF=BE+EF=2BE，F(xiàn)C=AC-AF=AC-AB，
∴2BE=AC-AB，
∴BE=$\frac{1}{2}(AC-AB).$

(1) 作圖痕跡如下：以點C為頂點，利
用圓規(guī)和直尺作∠ACD=∠A=24°，射
線CD交AB于點D，直線CD即為所求
（作圖痕跡保留）。
(2) 圖②能分割，兩個等腰三角形頂角
分別為132°和84°；圖③不能分割。

【答案】：
125°；140°

【解析】：
∵點P到△ABC三邊距離相等，∴P為△ABC內(nèi)心，即∠ABC、∠ACB平分線交點?！螦=70°，則∠ABC+∠ACB=110°，∠PBC+∠PCB=55°，∠BPC=180°-55°=125°；∵點M到△ABC三個頂點距離相等，∴M為△ABC外心，即外接圓圓心，∠BMC=2∠A=140°。
圖①：△ABH（頂點A、B、H）
圖②：△ACG（頂點A、C、G）
（注：△ABH中AB=AH=1，BH=2；△ACG中AC=AG=√2，CG=2，兩三角形不全等）
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