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C

D

50

30

36

①④

125°

140°

【答案】：
C

【解析】：
要使兩個三角形全等，已知$\angle A = \angle F$，$\angle B = \angle E$，符合$AAS$（角角邊）或$ASA$（角邊角）判定條件。
在$AAS$中，需要兩個角及非夾邊相等；在$ASA$中，需要兩個角及夾邊相等。
選項A：$AB = DE$，$AB$是$\triangle ABC$的邊，$DE$是$\triangle FED$的邊，但$DE$不是$EF$和$FD$的夾邊，也不與已知角構(gòu)成對應關系，所以不能判定全等。
選項B：$BC = EF$，$BC$是$\triangle ABC$的邊，$EF$是$\triangle FED$的邊，但它們不是對應邊，所以不能判定全等。
選項C：$AB = FE$，$AB$是$\angle A$和$\angle B$的夾邊，$FE$是$\angle F$和$\angle E$的夾邊，滿足$ASA$條件，可以判定兩個三角形全等。
選項D：$\angle C = \angle D$，雖然兩個角相等，但沒有邊的條件，不能判定兩個三角形全等。
因此，正確答案是C。

【答案】：
D

【解析】：
1. 首先考慮與這個$135^{\circ}$外角相鄰的內(nèi)角。由于一個外角與其相鄰的內(nèi)角之和為$180^{\circ}$，所以這個內(nèi)角為$180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$。
2. 當$45^{\circ}$角是等腰三角形的頂角時：
設底角為$\alpha$，由于等腰三角形的兩底角相等，且三角形內(nèi)角和為$180^{\circ}$，則$2\alpha + 45^{\circ} = 180^{\circ}$。
解得$\alpha = \frac{180^{\circ} - 45^{\circ}}{2} = 67.5^{\circ}$。
3. 當$45^{\circ}$角是等腰三角形的底角時：
此時底角直接就是$45^{\circ}$，因為題目已經(jīng)給出了這個角度，且等腰三角形的兩底角是相等的。
頂角則為$180^{\circ} - 2 × 45^{\circ} = 90^{\circ}$，但這部分信息題目并未直接詢問，只是用于驗證這種情況的合理性。
4. 綜上所述，等腰三角形的底角可以是$45^{\circ}$或$67.5^{\circ}$。

【答案】：
D

【解析】：
1. 根據(jù)題意，點D在AB的垂直平分線上，因此AD=DB。
2. △BDC的周長為BD+DC+BC。
3. 由于AD=DB，且AC=AD+DC，所以BD+DC=AC。
4. 已知AC=5，BC=4。
5. 因此，△BDC的周長為AC+BC=5+4=9。

【答案】：
D

【解析】：
∵AB=AC，AD是角平分線，∴AD是△ABC的中線和高（等腰三角形三線合一），∴BD=CD，AD⊥BC，故③④正確；∵AB=AC，∴∠B=∠C，又BE=CF，BD=CD，∴△EBD≌△FCD（SAS），故②正確；∵△EBD≌△FCD，∴ED=FD，∵AB=AC，BE=CF，∴AE=AF，又AD=AD，∴△AED≌△AFD（SSS），∴∠EDA=∠FDA，即AD平分∠EDF，故①正確。綜上，①②③④均正確。

【答案】：
50

【解析】：
因為△ABC≌△ADE，所以∠B=∠D=100°，∠BAC=∠DAE=30°。
在△ADE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠AED=180°-∠D-∠DAE=180°-100°-30°=50°。

【答案】：
30

【解析】：
由折疊性質(zhì)得BC=BD，∠BDE=∠C=90°；∵D是AB中點，∴AD=DB=AB/2，故BD=AB/2，∴BC=AB/2；在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB/2，∴∠A=30°。

【答案】：
36

【解析】：
∵AB=AC，∴△ABC為等腰三角形，∠ABC=∠ACB。
∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°。
在Rt△BDC中，∠DBC=18°，∴∠ACB=90°-∠DBC=90°-18°=72°（直角三角形兩銳角互余）。
設∠A=x，則∠ABC=∠ACB=(180°-x)/2=72°，解得x=36°。

【答案】：
①④

【解析】：
①對于命題“有一邊相等的兩個等邊三角形全等”：
由于等邊三角形的三邊都相等，如果兩個等邊三角形有一邊相等，那么它們的三邊都相等。
根據(jù)$SSS$全等條件，這兩個三角形必然全等。
所以命題①是正確的。
②對于命題“腰長相等且都有一個角是$50^\circ$的兩個等腰三角形全等”：
如果兩個等腰三角形的腰長相等，并且都有一個角是$50^\circ$，
但是這個$50^\circ$的角可能是一個頂角和底角的區(qū)別，
所以這兩個三角形不一定全等。
因此，命題②是錯誤的。
③對于命題“各有兩邊長分別是$5,4$的兩個等腰三角形全等”：
兩個等腰三角形各有兩邊長分別是$5$和$4$，
但是并沒有明確哪個是腰哪個是底，
所以可能存在$5,5,4$和$4,4,5$兩種情況，
因此，這兩個三角形不一定全等。
命題③是錯誤的。
④對于命題“判定三角形全等的條件中，至少要有一對邊對應相等”：
根據(jù)三角形全等的判定條件，無論是$SSS$，$SAS$，$ASA$，還是$AAS$，都至少包含一對對應邊相等。
所以命題④是正確的。

【答案】：
125°；140°

【解析】：
∵點P到△ABC三邊距離相等，∴P為△ABC內(nèi)心，即∠ABC、∠ACB平分線交點?！螦=70°，則∠ABC+∠ACB=110°，∠PBC+∠PCB=55°，∠BPC=180°-55°=125°；∵點M到△ABC三個頂點距離相等，∴M為△ABC外心，即外接圓圓心，∠BMC=2∠A=140°。

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