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D

(1) 采用割補法，以四邊形ABCD各頂點的最左、最右、最上、最下位置確定一個長為4、寬為4的矩形，面積為4×4=16。減去周圍四個直角三角形的面積：左上角三角形面積1/2×4×1=2，右上角三角形面積1/2×1×3=1.5，右下角三角形面積1/2×2×1=1，左下角三角形面積1/2×1×3=1.5。四邊形ABCD面積=16-(2+1.5+1+1.5)=9。 (2) 連接BD，由勾股定理得：BC2=12+32=10，CD2=32+12=10，BD2=42+22=20。因為BC2+CD2=BD2，所以△BCD是直角三角形。

A

13或√119

41

15

 設$CD$的長為$x。$

 因為$AD \perp BC，$所以$\triangle ADC$和$\triangle ADB$均為直角三角形。

 由于$\triangle ABC$是鈍角三角形，且$AD$為高，可知$D$在$BC$的延長線上，則$BD = BC + CD = 9 + x。$

 在$Rt\triangle ADC$中，$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 10^2 - x^2 = 100 - x^2。$

 在$Rt\triangle ADB$中，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 17^2 - (9 + x)^2 = 289 - (81 + 18x + x^2) = 208 - 18x - x^2。$

 因為$AD^2$相等，所以$100 - x^2 = 208 - 18x - x^2，$

 化簡得$18x = 108，$解得$x = 6。$

 $CD$的長為$6。$

 它的底端滑動2m，理由如下：

 在$Rt\triangle ABC$中，梯子長度$AB = 10m，$頂端到地面的距離$AC = 8m，$根據(jù)勾股定理，底端到墻的距離$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6m。$

 當梯子頂端下滑$2m$后，頂端到地面的距離變?yōu)?AC' = 8 - 2 = 6m。$

 在新的$Rt\triangle AB'C'$中，梯子長度不變$AB' = 10m，$此時底端到墻的距離$BC'=\sqrt{AB'^{2}-AC'^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8m。$

 因此，底端滑動的距離為$BB' = BC' - BC = 8 - 6 = 2m。$

 所以，它的底端滑動了$2m。$

【答案】：
1. (1) b2 - a2；(2) 8；3
2. (1) 3；5；(2) 16；30
思考：兩個未知邊用含同一未知數(shù)的代數(shù)式表示，可通過勾股定理列方程求解.
3. (1) 3和4可能都是直角邊或4為斜邊，第三邊可能為5或√7；(2) 126或66

【解析】：
1. 數(shù)形結合思想的運用.
(1) 在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2，故c2=b2-a2.
(2) ∠C=90°，a=6，c=10，b2=c2-a2=102-62=64，b=8；∠A=30°，則斜邊c=2a，由勾股定理a2+b2=c2，b=3，得a2+32=(2a)2，解得a2=3.
2. 方程思想的運用.
(1) ∠B=90°，AB=x，BC=4，AC=8-x，由勾股定理x2+42=(8-x)2，解得x=3，故AB=3，AC=5.
(2) ∠C=90°，a:b=8:15，設a=8k，b=15k，c=34，由勾股定理(8k)2+(15k)2=342，解得k=2，故a=16，b=30.
思考：兩個未知邊用含同一未知數(shù)的代數(shù)式表示，可通過勾股定理列方程求解.
3. 分類討論思想的運用.
(1) 3和4可能都是直角邊（第三邊5），或4為斜邊、3為直角邊（第三邊√7），小明未分類討論.
(2) 高AD在△ABC內部時，BD=16，DC=5，BC=21，面積=21×12/2=126；高AD在外部時，BC=16-5=11，面積=11×12/2=66.

【答案】：
D

【解析】：
對于選項A：
$a=8, b=15, c=17$，
$a^{2} + b^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$，
$c^{2} = 17^{2} = 289$，
因為 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，所以能組成直角三角形。
對于選項B：
$a=9, b=12, c=15$，
$a^{2} + b^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225$，
$c^{2} = 15^{2} = 225$，
因為 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，所以能組成直角三角形。
對于選項C：
$a=6, b=8, c=10$，
$a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$，
$c^{2} = 10^{2} = 100$，
因為 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，所以能組成直角三角形。
對于選項D：
設 $a=2x, b=3x, c=4x$，
$a^{2} + b^{2} = (2x)^{2} + (3x)^{2} = 4x^{2} + 9x^{2} = 13x^{2}$，
$c^{2} = (4x)^{2} = 16x^{2}$，
因為 $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$，所以不能組成直角三角形。

【答案】：
(1)9；(2)直角三角形

【解析】：
(1) 采用割補法，以四邊形ABCD各頂點的最左、最右、最上、最下位置確定一個長為4、寬為4的矩形，面積為4×4=16。減去周圍四個直角三角形的面積：左上角三角形面積1/2×4×1=2，右上角三角形面積1/2×1×3=1.5，右下角三角形面積1/2×2×1=1，左下角三角形面積1/2×1×3=1.5。四邊形ABCD面積=16-(2+1.5+1+1.5)=9。
(2) 連接BD，由勾股定理得：BC2=12+32=10，CD2=32+12=10，BD2=42+22=20。因為BC2+CD2=BD2，所以△BCD是直角三角形。

【答案】：
A

【解析】：
對于選項A：
我們驗證 $9^{2} + 16^{2}$ 是否等于 $25^{2}$。
計算得 $9^{2} + 16^{2} = 81 + 256 = 337$，
而 $25^{2} = 625$。
因為 $337 \neq 625$，所以A組不能構成直角三角形。
對于選項B：
我們驗證 $(\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2}$ 是否等于 $2^{2}$。
計算得 $(\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 2 + 2 = 4$，
而 $2^{2} = 4$。
因為 $4 = 4$，所以B組能構成直角三角形。
對于選項C：
我們驗證 $6^{2} + 8^{2}$ 是否等于 $10^{2}$。
計算得 $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$，
而 $10^{2} = 100$。
因為 $100 = 100$，所以C組能構成直角三角形。
對于選項D：
我們驗證 $5^{2} + 12^{2}$ 是否等于 $13^{2}$。
計算得 $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$，
而 $13^{2} = 169$。
因為 $169 = 169$，所以D組能構成直角三角形。
綜上所述，只有A組不能構成直角三角形。

【答案】：
(1) $13$或$\sqrt{119}$
(2) $41$ ； $15$

【解析】：
(1)
當$12$是斜邊時，第三邊長是：
$\sqrt{12^{2} - 5^{2}} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$，
當兩直角邊為$5$和$12$時，斜邊為：
$\sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = 13$，
綜上所述，答案為：$13$或$\sqrt{119}$。
(2)
對于勾股數(shù)$9, 40, \underline{\hspace{1em}}$，設第三邊為$c$，根據(jù)勾股定理有：
$c = \sqrt{9^{2} + 40^{2}} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41$，
對于勾股數(shù)$8, \underline{\hspace{1em}}, 17$，設中間數(shù)為$b$，根據(jù)勾股定理有：
$b = \sqrt{17^{2} - 8^{2}} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$，
綜上所述，答案為$41$ ； $15$。

在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 10m$，$AC = 8m$，根據(jù)勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6m$。
當梯子頂端下滑$2m$后，$AC' = 8 - 2 = 6m$。
在$Rt\triangle AB'C'$中，$AB' = 10m$，$AC' = 6m$，根據(jù)勾股定理$BC'=\sqrt{AB'^{2}-AC'^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8m$。
$BB' = BC' - BC = 8 - 6 = 2m$。
所以它的底端滑動$2m$。

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