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8$\sqrt{10}$

101

 （1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時，$a^2 + b^2 ＞ c^2。$

 證明：過點$A$作$AD \perp BC$于點$D。$

 設(shè)$CD = x，$則$BD = a - x。$

 在$Rt\triangle ADC$中，$AD^2 = b^2 - x^2；$在$Rt\triangle ADB$中，$AD^2 = c^2 - (a - x)^2。$

 所以$b^2 - x^2 = c^2 - (a - x)^2，$展開得$b^2 - x^2 = c^2 - a^2 + 2ax - x^2，$移項可得$a^2 + b^2 - c^2 = 2ax。$

 因為$a ＞ 0，$$x ＞ 0，$所以$2ax ＞ 0，$即$a^2 + b^2 - c^2 ＞ 0，$所以$a^2 + b^2 ＞ c^2。$

 （2）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，$a^2 + b^2 ＜ c^2。$

 證明：過點$A$作$AD \perp BC$交$BC$的延長線于點$D。$

 設(shè)$CD = x，$則$BD = a + x。$

 在$Rt\triangle ADC$中，$AD^2 = b^2 - x^2；$在$Rt\triangle ADB$中，$AD^2 = c^2 - (a + x)^2。$

 所以$b^2 - x^2 = c^2 - (a + x)^2，$展開得$b^2 - x^2 = c^2 - a^2 - 2ax - x^2，$移項可得$a^2 + b^2 - c^2 = -2ax。$

 因為$a ＞ 0，$$x ＞ 0，$所以$-2ax ＜ 0，$即$a^2 + b^2 - c^2 ＜ 0，$所以$a^2 + b^2 ＜ c^2。$

 （3）連接$AC。$

 在$Rt\triangle ABC$中，$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 80^2 + 60^2 = 10000，$所以$AC = 100m。$

 在$\triangle ACD$中，$AC = 100m，$$CD = 90m，$$AD = 110m。$

 根據(jù)海倫公式，$\triangle ACD$的半周長$p = \frac{100 + 90 + 110}{2} = 150m，$面積$S_{\triangle ACD} = \sqrt{p(p - AC)(p - CD)(p - AD)} = \sqrt{150×(150 - 100)×(150 - 90)×(150 - 110)} = \sqrt{150×50×60×40} = 3000\sqrt{2}m^2。$

 $\triangle ABC$的面積$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}×AB×BC = \frac{1}{2}×80×60 = 2400m^2。$

 四邊形$ABCD$的面積$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = 2400 + 3000\sqrt{2}m^2。$

【答案】：
(1)
$OA_{n}^{2}=n$，$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$
(2)
因為$OA_{n}^{2}=n$，當(dāng)$n = 10$時，$OA_{10}^{2}=10$，所以$OA_{10}=\sqrt{10}$
(3)
已知$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$，若$S_{n}=\sqrt{5}$，則$\frac{\sqrt{n}}{2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{n}=2\sqrt{5}=\sqrt{20}$，所以$n = 20$，即它是第$20$個三角形
(4)
$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+\cdots +S_{10}^{2}=(\frac{\sqrt{1}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+\cdots +(\frac{\sqrt{10}}{2})^{2}$
$=\frac{1}{4}(1 + 2+3+\cdots + 10)=\frac{1}{4}×\frac{10×(10 + 1)}{2}=\frac{55}{4}$

【解析】：

(1) $OA_n^2 = n$，$S_n = \frac{\sqrt{n}}{2}$
(2) 由
(1)知$OA_n^2 = n$，當(dāng)$n = 10$時，$OA_{10}^2 = 10$，則$OA_{10} = \sqrt{10}$
(3) 由$S_n = \frac{\sqrt{n}}{2} = \sqrt{5}$，得$\sqrt{n} = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$，所以$n = 20$
(4) $S_1^2 + S_2^2 + \cdots + S_{10}^2 = \left(\frac{\sqrt{1}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2 + \cdots + 10}{4} = \frac{55}{4}$

【答案】：
8$\sqrt{10}$

【解析】：
由題意，每個直角三角形的兩條直角邊分別為AC=2，BC=3。將邊長為3的直角邊向外延長一倍，延長后長度為3×2=6。延長后形成的新直角三角形的兩條直角邊分別為2和6，其斜邊長為√(22+62)=√40=2√10?！帮L(fēng)車”由4個這樣的斜邊構(gòu)成周長，故周長為4×2√10=8√10。

【答案】：
101

【解析】：
設(shè)門的寬度為$AB = L$寸，過$D$、$C$作$AB$的垂線，垂足分別為$E$、$F$，則$DE = CF = 10$寸（1尺=10寸），$CD = 2$寸。由對稱性知$AE = FB$，設(shè)$AE = FB = y$，則$EF = CD = 2$寸，故$AB = AE + EF + FB = 2y + 2$，即$y = \frac{L - 2}{2}$。
因$AD$、$BC$為門的寬度（每扇門寬$\frac{L}{2}$寸），在$Rt\triangle ADE$中，$AD^2 = AE^2 + DE^2$，即$(\frac{L}{2})^2 = y^2 + 10^2$。
代入$y = \frac{L - 2}{2}$，得$(\frac{L}{2})^2 = (\frac{L - 2}{2})^2 + 100$。
展開解得：$L^2 = (L - 2)^2 + 400$，$L^2 = L^2 - 4L + 4 + 400$，$4L = 404$，$L = 101$。

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