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$5+\sqrt{5}$

1

7√2

B

 證明：因?yàn)?\angle B = 90^{\circ}，$所以在$Rt\triangle ABC$中，根據(jù)勾股定理$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}。$

 已知$AB = 12，$$BC = 9，$則$AC^{2}=12^{2}+9^{2}=144 + 81=225，$所以$AC = 15。$

 在$\triangle ACD$中，$AC = 15，$$CD = 8，$$AD = 17。$

 計(jì)算$AC^{2}+CD^{2}=15^{2}+8^{2}=225 + 64 = 289，$而$AD^{2}=17^{2}=289。$

 所以$AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}，$根據(jù)勾股定理的逆定理，$\angle ACD = 90^{\circ}，$即$\triangle ACD$是直角三角形。

$\frac{\sqrt{n}}{2}$

$n$

(1)$OA_{n}^{2}=n$，$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$

(2)因?yàn)?OA_{n}^{2}=n$，當(dāng)$n = 10$時(shí)，

$OA_{10}^{2}=10$，所以$OA_{10}=\sqrt{10}$

(3)已知$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$，若$S_{n}=\sqrt{5}$，

則$\frac{\sqrt{n}}{2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{n}=2\sqrt{5}=\sqrt{20}$，

所以$n = 20$，即它是第$20$個(gè)三角形

(4)$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+\cdots +S_{10}^{2}$

$=(\frac{\sqrt{1}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+\cdots +(\frac{\sqrt{10}}{2})^{2}$

$=\frac{1}{4}(1 + 2+3+\cdots + 10)=\frac{1}{4}×\frac{10×(10 + 1)}{2}=\frac{55}{4}$

【答案】：
(1)a?=√2,a?=√3,a?=2,a?=√5,a?=√6；規(guī)律：a?=√(n+1)；(2)圖略；(3)a??=10,a?=√(n+1)

【解析】：
(1)構(gòu)造直角三角形，以1為直角邊，依次以斜邊為新直角邊，另一直角邊為1，由勾股定理得：
a?=√(12+12)=√2，
a?=√(a?2+12)=√(2+1)=√3，
a?=√(a?2+12)=√(3+1)=√4=2，
a?=√(a?2+12)=√(4+1)=√5，
a?=√(a?2+12)=√(5+1)=√6；
規(guī)律：a?=√(n+1)。
(2)以數(shù)軸原點(diǎn)為圓心，a?=√6為半徑畫弧，與正半軸交點(diǎn)即為表示√6的點(diǎn)。
(3)由規(guī)律a?=√(n+1)，得a??=√(99+1)=10，a?=√(n+1)。

【答案】：
$5+\sqrt{5}$。

【解析】：
由圖可知，A、B、C均在邊長為1m的正方形地磚的頂點(diǎn)上。
從A到B的水平距離為3個(gè)正方形邊長，垂直距離為4個(gè)正方形邊長，
即$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$（m）。
從B到C的水平距離為2個(gè)正方形邊長，垂直距離為1個(gè)正方形邊長，
即$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$（m）。
因此，從A到C的總路程為$AB+BC=5+\sqrt{5}$（m）。

【答案】：
1

【解析】：
設(shè)木板原位置為點(diǎn)B，推進(jìn)后為點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CE垂直地面于E，過點(diǎn)B作BD垂直地面于D，連接AC，AB。則AC=AB=5m，CD=DE=3m（此處修正：應(yīng)為CE=3m，BD=CE=3m，設(shè)木板上升高度為h，即BC=h，AD=AB=5m，AE=AD-DE=5-h，在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，即52=(5-h)2+32，25=25-10h+h2+9，h2-10h+9=0，(h-1)(h-9)=0，解得h=1或h=9（舍去），故h=1m。

【答案】：
7√2

【解析】：
∵△ABE是直角三角形，AE=5，AB=13，
∴由勾股定理得：BE=√(AB2-AE2)=√(132-52)=12。
∵四個(gè)直角三角形全等，∴每個(gè)直角三角形兩直角邊分別為5和12。
觀察圖形，四個(gè)直角三角形圍成中間的四邊形EFGH，其邊長為兩直角邊之差：12-5=7，即四邊形EFGH是邊長為7的正方形。
∴EG是正方形EFGH的對(duì)角線，EG=7√2。

【答案】：
B

【解析】：
大門寬4.0m，上方半圓半徑r=2.0m，下方矩形高1.6m。卡車寬2.0m，從中間通過時(shí)，卡車邊緣距圓心水平距離d=(4.0-2.0)/2=1.0m。在半圓中，由勾股定理得半圓部分允許高度h=√(r2-d2)=√(22-12)=√3≈1.73m?？傇试S高度為1.6+1.73≈3.33m。卡車高2.8m、3.1m≤3.33m可通過，3.4m、3.7m＞3.33m不可通過，能通過2輛。

【答案】：
(1)
$OA_{n}^{2}=n$，$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$
(2)
因?yàn)?OA_{n}^{2}=n$，當(dāng)$n = 10$時(shí)，$OA_{10}^{2}=10$，所以$OA_{10}=\sqrt{10}$
(3)
已知$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$，若$S_{n}=\sqrt{5}$，則$\frac{\sqrt{n}}{2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{n}=2\sqrt{5}=\sqrt{20}$，所以$n = 20$，即它是第$20$個(gè)三角形
(4)
$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+\cdots +S_{10}^{2}=(\frac{\sqrt{1}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+\cdots +(\frac{\sqrt{10}}{2})^{2}$
$=\frac{1}{4}(1 + 2+3+\cdots + 10)=\frac{1}{4}×\frac{10×(10 + 1)}{2}=\frac{55}{4}$

【解析】：

(1) $OA_n^2 = n$，$S_n = \frac{\sqrt{n}}{2}$
(2) 由
(1)知$OA_n^2 = n$，當(dāng)$n = 10$時(shí)，$OA_{10}^2 = 10$，則$OA_{10} = \sqrt{10}$
(3) 由$S_n = \frac{\sqrt{n}}{2} = \sqrt{5}$，得$\sqrt{n} = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$，所以$n = 20$
(4) $S_1^2 + S_2^2 + \cdots + S_{10}^2 = \left(\frac{\sqrt{1}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2 + \cdots + 10}{4} = \frac{55}{4}$

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