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D

證明：由題意可知，圖①為長$a$、寬$b$、對角線$c$的長方形，4個(gè)圖①長方形組成圖②，其中四邊形$ABCD$、$EFGH$、$MNPQ$都是正方形。

 1. 大正方形$ABCD$的面積：

 其邊長為長方形長與寬之和$a + b，$因此面積$S_{ABCD}=(a + b)^2，$展開可得$S_{ABCD}=a^2 + 2ab + b^2。$

 2. 小正方形$MNPQ$的面積：

 大正方形$ABCD$的面積等于4個(gè)長方形的面積與小正方形$MNPQ$的面積之和。4個(gè)長方形的面積為$4ab，$設(shè)小正方形$MNPQ$的邊長為$d，$則其面積為$d^2。$

 由面積關(guān)系可得：$a^2 + 2ab + b^2 = 4ab + d^2，$解得$d^2=(a - b)^2，$即$S_{MNPQ}=(a - b)^2。$

 3. 正方形$EFGH$的面積：

 正方形$EFGH$的邊長為長方形的對角線$c，$因此其面積$S_{EFGH}=c^2。$

 同時(shí)，正方形$EFGH$的面積等于小正方形$MNPQ$的面積與4個(gè)直角三角形的面積之和。每個(gè)直角三角形的面積為$\frac{1}{2}ab，$4個(gè)直角三角形的面積為$4\times\frac{1}{2}ab = 2ab。$

 由面積關(guān)系可得：$c^2=(a - b)^2 + 2ab。$

 4. 化簡得結(jié)論：

 展開$(a - b)^2 + 2ab，$得$a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2，$因此$c^2=a^2 + b^2。$

 綜上，$a^2 + b^2 = c^2$得證。

解：由題意可知，大正方形的面積為13，即$c^2 = 13。$根據(jù)勾股定理，直角三角形的兩直角邊$a$、$b$滿足$a^2 + b^2 = c^2 = 13。$

 大正方形由4個(gè)全等直角三角形和1個(gè)小正方形構(gòu)成，小正方形的面積為2，所以4個(gè)直角三角形的面積之和為大正方形面積減去小正方形面積，即$13 - 2 = 11。$

 因?yàn)槊總€(gè)直角三角形的面積為$\frac{1}{2}ab，$所以4個(gè)直角三角形的面積之和為$4\times\frac{1}{2}ab = 2ab，$則$2ab = 11，$即$ab=\frac{11}{2}。$

 又因?yàn)?(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，$將$a^2 + b^2 = 13$和$2ab = 11$代入可得：$(a + b)^2=13 + 11=24。$

 故$(a + b)^2$的值為24。

【答案】：
(1) 13
(2) 8

【解析】：
(1)在直角三角形中，兩條直角邊的長度分別為5和12，根據(jù)勾股定理：
$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$。
(2)在直角三角形中，一條直角邊長為6，斜邊長為10，根據(jù)勾股定理：
$b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$。

【答案】：
49

【解析】：
根據(jù)勾股定理，直角三角形的兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方。
設(shè)正方形A, B, C, D的邊長分別為a, b, c, d。
圖中最大正方形的邊長為7 cm，其面積為$7^2 = 49 cm^2$。
觀察圖形可知，正方形A、B、C、D的邊長分別是四個(gè)直角三角形的直角邊，最大正方形的邊長是四個(gè)直角三角形的斜邊。
根據(jù)勾股定理，有：
$ a^2 + b^2 = e^2 $，
$ c^2 + d^2 = f^2 $，
其中e和f分別是兩個(gè)直角三角形的斜邊，且$e^2 + f^2 = 7^2 = 49$。
因此，正方形A, B, C, D的面積之和為：
$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2 + f^2 = 49 cm^2 $。

【答案】：
D

【解析】：
由圖形可知，四邊形ABCD為直角梯形，其面積可表示為$\frac{1}{2}(AD + BC) \cdot AB$。同時(shí)，該梯形可分割為$\triangle ADE$、$\triangle CDE$和$\triangle BEC$三個(gè)三角形。由于$Rt\triangle ADE \cong Rt\triangle BEC$，設(shè)$AD = BE = a$，$AE = BC = b$，$DE = CE = c$，則梯形面積$S_{四邊形ABCD} = S_{\triangle EDA} + S_{\triangle CDE} + S_{\triangle CEB}$，此面積關(guān)系是證明勾股定理的關(guān)鍵。

【答案】：
24

【解析】：
由題意知，大正方形面積為13，其邊長為直角三角形斜邊$c$，則$c^2 = 13$。根據(jù)勾股定理，直角三角形兩直角邊$a,b$滿足$a^2 + b^2 = c^2 = 13$。
中間小正方形面積為2，其邊長為直角三角形兩直角邊之差$|a - b|$，則$(a - b)^2 = 2$。展開得$a^2 - 2ab + b^2 = 2$。
將$a^2 + b^2 = 13$代入上式，得$13 - 2ab = 2$，解得$2ab = 11$。
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = 13 + 11 = 24$。

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