【答案】：
1. $a^2 + 2ab + b^2$；$a^2 + b^2$；$a^2 + b^2 = c^2$
2. 證明過程如上。
3. 證明過程如上。
【解析】：
1. 設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為$a$和$b$，斜邊為$c$。
第一種方法：大正方形的邊長為$a+b$，所以面積$S_{正方形ABCD} = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
第二種方法：大正方形由四個直角三角形和一個小的正方形組成，四個直角三角形的面積總和為$2ab$，小的正方形邊長為$c$，面積為$c^2$，所以大正方形的面積也可以表示為$a^2 + b^2 + 2ab - 2ab + c^2 = c^2 + 2ab - 2ab = a^2 + b^2$（這里$2ab - 2ab$是為了展示面積構(gòu)成，實際計算中可直接得$a^2 + b^2$）。但考慮到四個三角形的面積和為$2ab$，故另一種方法求得的面積為$c^2$（加上四個三角形面積后減去多算的$2ab$），即大正方形面積也等于$a^2 + b^2$（通過等面積法得出）。
所以得到等式：$a^2 + b^2 = c^2$。
2. 對于圖3-7的證明：
大正方形面積可以表示為$(a+b)^2$，也可以表示為四個直角三角形的面積（每個為$\frac{1}{2}ab$，共$2ab$）加上中間小正方形的面積$c^2$。
因此，$(a+b)^2 = 4 × \frac{1}{2}ab + c^2$。
展開并化簡得：$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$。
兩邊減去$2ab$，得：$a^2 + b^2 = c^2$。
3. 對于圖3-8的證明（趙爽弦圖）：
整個圖形是一個大正方形，邊長為$c$，面積為$c^2$。
它由四個全等的直角三角形（直角邊分別為$a$和$b$）和一個小正方形組成。
四個直角三角形的總面積為$4 × \frac{1}{2}ab = 2ab$。
小正方形的邊長為$b-a$（或$a-b$，取決于$a$和$b$的大?。?，面積為$(b-a)^2$。
因此，大正方形的面積也可以表示為$2ab + (b-a)^2$。
展開并化簡得：$c^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2 + b^2$。
