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第39頁

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∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED（等邊對等角）。
∵∠ADE+∠ADB=180°，∠AED+∠AEC=180°，
∴∠ADB=∠AEC（等角的補角相等）。
在△ABD和△ACE中，
∵AD=AE，∠ADB=∠AEC，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
∴AB=AC（全等三角形對應邊相等）。
∴△ABC是等腰三角形。
證明：連接EB，EC。
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM=EN（角平分線上的點到角兩邊距離相等）。
∵BD=DC，DE⊥BC，
∴DE垂直平分BC，
∴EB=EC（垂直平分線上的點到線段兩端距離相等）。
在Rt△EMB和Rt△ENC中，
∵EB=EC，EM=EN，
∴Rt△EMB≌Rt△ENC（HL），
∴BM=CN。
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【答案】：
$\angle CAB=\angle DAB$；$\angle CBA=\angle DBA$；$AC = AD$；$BC = BD$

【解析】：
若利用“AAS”說明$\triangle ABC\cong \triangle ABD$，已知$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，公共邊為$AB$，還需要一對角相等，可添加$\angle CAB=\angle DAB$或$\angle CBA=\angle DBA$。
若利用“HL”說明$\triangle ABC\cong \triangle ABD$，因為$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$AB$為公共邊（斜邊），則需要添加一對直角邊相等，可添加$AC = AD$或$BC = BD$。
【答案】：
4

【解析】：
在△ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，所以AD⊥BC，∠ADC=90°（等腰三角形三線合一）。在Rt△ADC中，E是AC的中點，所以DE=1/2AC（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半）。因為AC=8，所以DE=1/2×8=4。
【答案】：
1

【解析】：
∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC=3，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵∠APE=60°，∠BAC=60°，在△APE中，∠PAE+∠PEA=180°-∠APE=120°；在△ABE中，∠ABE+∠AEB=180°-∠BAC=120°．
∵∠PEA=∠AEB（公共角），∴∠PAE=∠ABE，即∠CAD=∠ABE．
在△ABE和△CAD中，∠ABE=∠CAD，AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，∴△ABE≌△CAD（ASA）．
∴AE=CD．∵CD=BC-BD=3-1=2，∴AE=2，∴CE=AC-AE=3-2=1．
【答案】：
4

【解析】：
1. 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$\angle C=90^\circ$，$AD$平分$\angle BAC$，交$BC$于點$D$，且$CD=4$。
2. 根據角平分線的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
3. 因此，點$D$到$AB$的距離等于點$D$到$AC$的距離。
4. 已知$CD$垂直于$AC$，所以$CD$的長度即為點$D$到$AC$的距離。
5. 所以點$D$到$AB$的距離等于$CD$的長度，即$4$。
【答案】：
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【解析】：
因為$AB = AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，根據等腰三角形兩底角相等以及三角形內角和為$180^{\circ}$，可得$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\frac{180 - 120}{2}=30^{\circ}$。
因為$DE$是$AB$的垂直平分線（$DE$為圖中垂直$AB$的直線），所以$DA = DB$，那么$\angle B=\angle BAD = 30^{\circ}$。
根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和，在$\triangle ABD$中，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$，所以$\angle ADC = 30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$。
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