(1) $EF = \frac{1}{2}AC$
(2) $AM + DM = BC$
解題過程:
(1) 連接 $CE。$
∵ $CD = CB,$$E$ 為 $BD$ 中點,
∴ $CE \perp BD$(等腰三角形三線合一),即 $\angle CEA = 90^\circ。$
在 $Rt\triangle CEA$ 中,$F$ 為 $AC$ 中點,
∴ $EF = \frac{1}{2}AC$(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)。
(2)
∵ $\angle BAC = 45^\circ,$$F$ 為 $AC$ 中點,由
(1)知 $EF = \frac{1}{2}AC = AF = FC,$
∴ $AF = EF,$$\triangle AFE$ 中 $\angle FAE = \angle FEA = 45^\circ,$
∴ $\angle AFE = 90^\circ,$即 $EF \perp AC。$
∵ $F$ 為 $AC$ 中點,$EF \perp AC,$
∴ $EF$ 垂直平分 $AC,$又 $M$ 在 $EF$ 上,
∴ $MA = MC$(垂直平分線上的點到兩端距離相等)。
∵ $M$ 在 $CD$ 上,$CD = BC,$
∴ $MC = CD - DM = BC - DM,$
∴ $AM = BC - DM,$即 $AM + DM = BC。$