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第31頁

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證明：
因為 $ D $ 是 $ AB $ 中點，所以 $ AD = BD 。$
因為 $ DE \perp AC ，$$ DF \perp BC ，$所以 $ \triangle ADE $ 和 $ \triangle BDF $ 均為直角三角形。
在 $ Rt\triangle ADE $ 和 $ Rt\triangle BDF $ 中，
$\left\{\begin{array}{l}AD = BD, \\DE = DF,\end{array}\right.$
根據(jù)“HL”定理，可得 $ Rt\triangle ADE \cong Rt\triangle BDF ，$因此 $ AE = BF 。$
設(shè) $ AE = BF = x ，$$ CE = y ，$$ CF = z 。$
在 $ Rt\triangle CDE $ 和 $ Rt\triangle CDF $ 中，
$\left\{\begin{array}{l}DE = DF, \\CD = CD,\end{array}\right.$
根據(jù)“HL”定理，可得 $ Rt\triangle CDE \cong Rt\triangle CDF ，$因此 $ CE = CF ，$即 $ y = z 。$
因為 $ AC = AE + CE = x + y ，$$ BC = BF + CF = x + z ，$且 $ y = z ，$所以 $ AC = BC 。$
因此，$ \triangle ABC $ 是等腰三角形。
D
△ACE
△AGE
(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。
∵CE//AB，∴∠E=∠BAD，∴∠E=∠CAD，
∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形。
(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。
∵EF//AD，∴∠AGE=∠BAD，∠E=∠CAD，
∴∠AGE=∠E，∴AG=AE，∴△AGE是等腰三角形。
(3)選擇(1)證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD?！逤E//AB，∴∠E=∠BAD，
∴∠E=∠CAD，∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形。
【答案】：
(1)D；(2)C

【解析】：
(1)在$\triangle ABC$中，因為$\angle B=\angle C$，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“等角對等邊”，可知$AC = AB$，已知$AB = 5$，所以$AC = 5$。
(2)因為$AB = AC$，$\angle B = 36^{\circ}$，所以$\angle C = 36^{\circ}$，$\angle BAC=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$。
又因為$\angle BAD=\angle DAE=\angle EAC$，所以$\angle BAD=\angle DAE=\angle EAC = 36^{\circ}$。
則$\angle ADB=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$，$\angle AED = 180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$，$\angle CDE=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$，$\angle DEC = 72^{\circ}$。
所以$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle ADE$、$\triangle AEC$、$\triangle ABE$、$\triangle ACD$都是等腰三角形，共$6$個。
【答案】：
(1)△ACE；(2)△AGE

【解析】：
(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD?！逤E//AB，∴∠E=∠BAD，∴∠E=∠CAD，∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形。
(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵EF//AD，∴∠AGE=∠BAD，∠E=∠CAD，∴∠AGE=∠E，∴AG=AE，∴△AGE是等腰三角形。
(3)選擇(1)證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵CE//AB，∴∠E=∠BAD，∴∠E=∠CAD，∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形。
【答案】：
D

【解析】：
1. 如圖所示，設(shè)點A的坐標(biāo)為(0, 0)，點B的坐標(biāo)為(2, 2)。
2. 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，點C應(yīng)滿足$AC = BC$或$AC = AB$或$BC = AB$。
3. 通過觀察網(wǎng)格，找出所有可能的格點C，使得$\triangle ABC$為等腰三角形。
4. 分別計算：
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
滿足$AC = AB$的點C有：(0, 4), (4, 0)。
滿足$BC = AB$的點C有：(4, 4), (0, 2)（舍去，與B在同一豎直線上），(2, 0)（舍去，與B在同一水平線上），(2, 4), (4, 2)。
滿足$AC = BC$的點C有：(1, 3), (3, 1)。
5. 綜合上述，符合條件的點C共有8個。
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