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第28頁

信息發(fā)布者：
$55^{\circ}$
$55^{\circ}$
$120^{\circ}$
$30^{\circ}$
$55^{\circ}，$$70^{\circ}；$或$62.5^{\circ}，$$62.5^{\circ}$
A
D
B
EF與AD平行。理由如下：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三線合一），即∠CAD=∠BAC/2。
∵E在CA延長線上，AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，∠E=∠AFE。
在△AEF中，∠EAF+∠E+∠AFE=180°，
∴∠EAF=180°-2∠E。
∵C、A、E共線，
∴∠EAF=180°-∠BAC（鄰補角定義）。
∴180°-∠BAC=180°-2∠E，即∠BAC=2∠E，
∴∠E=∠BAC/2。
∵∠CAD=∠BAC/2，
∴∠E=∠CAD。
∴EF//AD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。
結(jié)論：EF//AD。
35°
30°
【答案】：
$\angle B$；$\angle C$；
$\triangle ABD\cong\triangle ACD(ASA)$，$BD = CD$；$\angle BAD=\angle CAD$，$BD = CD$；$\angle BAD=\angle CAD$，$AD\perp BC$。

【解析】：

對于等腰三角形，等邊對等角，所以在$\triangle ABC$中，由于$AB = AC$，那么$\angle B=\angle C$。
在等腰$\triangle ABC$中，$AB = AC$：
（1）當(dāng)$\angle BAD=\angle CAD$時，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)（頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合），可知$AD$是頂角平分線，所以$AD\perp BC$，$BD = CD$，即$\triangle ABD\cong\triangle ACD(ASA)$，所以$BD=CD$。
（2）當(dāng)$AD\perp BC$時，因為等腰三角形三線合一，所以$AD$是底邊上的高，同時也是頂角平分線和底邊中線，可得$\angle BAD=\angle CAD$，$BD = CD$。
（3）當(dāng)$BD = CD$時，由于等腰三角形三線合一，所以$AD$是底邊中線，同時也是頂角平分線和底邊上的高，即$\angle BAD=\angle CAD$，$AD\perp BC$。
【答案】：
[分析]
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，兩個底角相等，利用三角形內(nèi)角和定理（三角形三個內(nèi)角的和等于$180^{\circ}$）求解即可。
[解答]
（1）已知$\angle A=70^{\circ}$
因為$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C$（等腰三角形兩底角相等）
因為三角形內(nèi)角和為$180^{\circ}$
所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-70^{\circ}}{2}=55^{\circ}$
答案為：$55^{\circ}$；$55^{\circ}$
（2）已知$\angle B=30^{\circ}$
因為$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=30^{\circ}$（等腰三角形兩底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$
答案為：$120^{\circ}$；$30^{\circ}$
（3）已知一個角等于$55^{\circ}$
若$\angle A=55^{\circ}$
因為$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C$（等腰三角形兩底角相等）
所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-55^{\circ}}{2}=62.5^{\circ}$
若$\angle B=55^{\circ}$
因為$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=55^{\circ}$（等腰三角形兩底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-55^{\circ}-55^{\circ}=70^{\circ}$
若$\angle C=55^{\circ}$
因為$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=55^{\circ}$（等腰三角形兩底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-55^{\circ}-55^{\circ}=70^{\circ}$
答案為：$55^{\circ}$，$70^{\circ}$；或$62.5^{\circ}$，$62.5^{\circ}$
[總結(jié)]
通過對等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的運用，逐步推導(dǎo)出各個角的度數(shù)。
[答案]
（1）$55^{\circ}$；$55^{\circ}$
（2）$120^{\circ}$；$30^{\circ}$
（3）$55^{\circ}$，$70^{\circ}$；或$62.5^{\circ}$，$62.5^{\circ}$

【解析】：
(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=70°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=(180°-70°)÷2=55°；
(2)∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-30°-30°=120°；
(3)當(dāng)55°角為頂角時，底角=(180°-55°)÷2=62.5°，其余兩角為62.5°，62.5°；當(dāng)55°角為底角時，頂角=180°-55°×2=70°，其余兩角為55°，70°。
【答案】：
(1)A
(2)D
(3)B

【解析】：
(1)在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，根據(jù)等腰三角形兩底角相等及三角形內(nèi)角和為$180^{\circ}$，可得$\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180 - 36}{2}=72^{\circ}$。
因為$BD$是邊$AC$上的高，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$，在$\triangle BDC$中，$\angle DBC=180^{\circ}-\angle BDC-\angle C=180 - 90 - 72 = 18^{\circ}$。
(2)分兩種情況討論：
當(dāng)?shù)妊切蔚难L為$10$，底邊長為$7$時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系（任意兩邊之和大于第三邊），$10 + 10＞7$，$10 + 7＞10$，能構(gòu)成三角形，此時周長為$10 + 10 + 7 = 27$。
當(dāng)?shù)妊切蔚难L為$7$，底邊長為$10$時，$7 + 7＞10$，$7 + 10＞7$，能構(gòu)成三角形，此時周長為$7 + 7 + 10 = 24$。
所以它的周長是$27$或$24$。
(3)因為$CD = CE$，所以$\angle DEC=\angle D = 74^{\circ}$。
根據(jù)鄰補角的性質(zhì)，$\angle C = 180^{\circ}-2×74^{\circ}=180 - 148 = 32^{\circ}$。
又因為$AB// CD$，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，所以$\angle B=\angle C = 32^{\circ}$。
【答案】：
(1)35°；(2)30°；(3)7或11

【解析】：
(1)等腰三角形外角為70°，則內(nèi)角為110°，110°只能為頂角，底角=(180°-110°)/2=35°；(2)AB=AC，∠A=40°，∠ABC=∠ACB=70°，BD=BC，∠BDC=∠ACB=70°，∠DBC=40°，∠ABD=70°-40°=30°；(3)設(shè)腰長2x，底y，中線分周長為3x和x+y。若3x=12，x=4，y=15-4=11；若3x=15，x=5，y=12-5=7，均符合三邊關(guān)系，底邊長7或11。
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