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第26頁

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∠BED=∠BFD.
理由如下：
過點D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N.
∵D是∠ABC平分線上的點，
∴DM=DN（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）.
在Rt△DME和Rt△DNF中，
∵DE=DF，DM=DN，
∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL）.
∴∠DEM=∠DFN.
∵DM⊥AB，DN⊥BC，
∴∠DEM=∠BED，∠DFN=∠BFD.
∴∠BED=∠BFD.
3
證明：
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分線上的點到角兩邊距離相等）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°。
在△AED和△AFD中，
∠EAD=∠FAD（AD是角平分線），
∠AED=∠AFD，
AD=AD（公共邊），
∴△AED≌△AFD（AAS）。
∴AE=AF，DE=DF。
∵AE=AF，
∴點A在EF的垂直平分線上（到線段兩端距離相等的點在垂直平分線上）。
∵DE=DF，
∴點D在EF的垂直平分線上。
∵點A、D在EF的垂直平分線上，
∴AD垂直平分EF（兩點確定一條直線）。
【答案】：
A

【解析】：
根據(jù)角平分線的性質，角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。因此，三角形三個角的平分線交于一點，這一點到三角形的三條邊距離相等。
【答案】：
70；1

【解析】：
1. 由于OC平分∠AOB，且點P在OC上，因此∠AOP = ∠BOP。
2. PD垂直于OA，PE垂直于OB，因此∠PDO = ∠PEO = 90°。
3. 在△ODP和△OEP中，由于∠AOP = ∠BOP，∠PDO = ∠PEO = 90°，且OP是公共邊，所以△ODP ? △OEP（AAS）。
4. 因此，PD = PE，且∠OPD = ∠OPE。
5. 已知∠DOP = 20°，所以∠OPE = 90° - ∠DOP = 90° - 20° = 70°。
6. 由于PD = 1，因此PE = 1。
【答案】：
2

【解析】：
1. 由題意可知，OP平分∠MON，PA⊥ON，且PA=2。
2. 根據(jù)角平分線的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以P到OM的距離等于PA，即2。
3. 因為Q是OM上的動點，PQ的長度會隨著Q的位置變化而變化。
4. 當PQ垂直于OM時，PQ的長度最短，此時PQ的長度等于P到OM的距離，即2。
【答案】：
3

【解析】：
因為$AD$是$\angle BAC$的平分線，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根據(jù)角平分線的性質可知$DE = DF$。
已知$DE = 2$，所以$DF = 2$。
根據(jù)三角形面積公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$為底，$h$為高），$\triangle ABC$的面積$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$。
已知$S_{\triangle ABC}=7$，$AB = 4$，$DE = DF = 2$，則$\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}× AC×2=7$。
即$4 + AC=7$，解得$AC = 3$。
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