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 （1）△ABD與△ADC的面積相等。理由如下：因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD=DC。又因?yàn)椤鰽BD和△ADC以BD和DC為底時(shí)，高相同（均為點(diǎn)A到BC的距離），根據(jù)三角形面積公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中a為底，h為高），等底等高的三角形面積相等，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}。$

 （2）因?yàn)镕G是△EFC的中線，所以$S_{\triangle EFG}=S_{\triangle GFC}=1，$則$S_{\triangle EFC}=S_{\triangle EFG}+S_{\triangle GFC}=1 + 1=2。$

 因?yàn)镋F是△DEC的中線，所以$S_{\triangle DEF}=S_{\triangle EFC}=2，$則$S_{\triangle DEC}=S_{\triangle DEF}+S_{\triangle EFC}=2 + 2=4。$

 因?yàn)镈E是△ADC的中線，所以$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle DEC}=4，$則$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle DEC}=4 + 4=8。$

 因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}=8，$則$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADC}=8 + 8=16。$

(1)因?yàn)?\alpha= 70^\circ$，$\beta= 40^\circ$，所以$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle B = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ$。因?yàn)?CE$是$\angle ACB$的角平分線，所以$\angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} × 70^\circ = 35^\circ$。因?yàn)?CD$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle ADC = 90^\circ$，所以$\angle ACD = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$。所以$\angle DCE = \angle ACE - \angle ACD = 35^\circ - 20^\circ = 15^\circ$。 (2)因?yàn)?\angle ACB = 180^\circ - \alpha - \beta$。因?yàn)?CE$是$\angle ACB$的角平分線，所以$\angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} (180^\circ - \alpha - \beta)$。因?yàn)?CD$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle ADC = 90^\circ$，所以$\angle ACD = 90^\circ - \alpha$。所以$\angle DCE = \angle ACE - \angle ACD = \frac{1}{2} (180^\circ - \alpha - \beta)-(90^\circ - \alpha)=\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$。

【答案】：
36

【解析】：
設(shè)$\angle A = x$。
因?yàn)?\angle BDC = 3\angle A$，
所以$\angle BDC = 3x$。
因?yàn)?BD$平分$\angle ABC$，$CD$平分$\angle BCA$，
所以設(shè)$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle DCB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
在$\triangle BDC$中，$\angle DBC + \angle DCB + \angle BDC = 180^{\circ}$，
即$\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle ACB + 3x = 180^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC + \angle ACB + \angle A = 180^{\circ}$，
所以$\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - x$。
將$\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - x$代入$\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle ACB + 3x = 180^{\circ}$中，
得$\frac{1}{2}(180^{\circ} - x)+3x = 180^{\circ}$。
展開(kāi)式子得$90^{\circ}-\frac{1}{2}x + 3x = 180^{\circ}$。
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得$\frac{5}{2}x = 90^{\circ}$。
解得$x = 36^{\circ}$，即$\angle A = 36^{\circ}$。

【答案】：
16

【解析】：
（1）根據(jù)中線的性質(zhì)，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分。
因?yàn)?AD$是$\triangle ABC$的中線，所以$D$是$BC$的中點(diǎn)，即$BD = DC$。
所以$\triangle ABD$和$\triangle ADC$等底同高，即$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ADC} $，
即$\triangle ABD$與$\triangle ADC$的面積相等，都為$\triangle ABC$面積的一半。
（2）由于$AD$是$\triangle ABC$的中線，所以$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ADC} =\frac{1}{2}S_{\triangle ABC} $。
同理，$DE$是$\triangle ADC$的中線，所以$S_{\triangle ADE} = S_{\triangle CDE} =\frac{1}{2}S_{\triangle ADC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC} $。
$EF$是$\triangle DEC$的中線，所以$S_{\triangle DFE} = S_{\triangle EFC} =\frac{1}{2}S_{\triangle DEC}=\frac{1}{8}S_{\triangle ABC} $。
$FG$是$\triangle EFC$的中線，所以$S_{\triangle EFG} = S_{\triangle GFC} =\frac{1}{2}S_{\triangle EFC}=\frac{1}{16}S_{\triangle ABC} $。
已知$S_{\triangle GFC} = 1$，所以$\frac{1}{16}S_{\triangle ABC}=1$，
因此，$S_{\triangle ABC} = 1 × 16 = 16$。

【答案】：
(1)$15°$ (2)$\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$

【解析】：
(1)因?yàn)?\alpha= 70^\circ$，$\beta= 40^\circ$，
所以$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle B = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ$。
因?yàn)?CE$是$\angle ACB$的角平分線，
所以$\angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} × 70^\circ = 35^\circ$。
因?yàn)?CD$是$\triangle ABC$的高，
所以$\angle ADC = 90^\circ$，
所以$\angle ACD = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$。
所以$\angle DCE = \angle ACE - \angle ACD = 35^\circ - 20^\circ = 15^\circ$。
(2)因?yàn)?\angle ACB = 180^\circ - \alpha - \beta$。
因?yàn)?CE$是$\angle ACB$的角平分線，
所以$\angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} (180^\circ - \alpha - \beta)$。
因?yàn)?CD$是$\triangle ABC$的高，
所以$\angle ADC = 90^\circ$，
所以$\angle ACD = 90^\circ - \alpha$。
所以$\angle DCE = \angle ACE - \angle ACD = \frac{1}{2} (180^\circ - \alpha - \beta)-(90^\circ - \alpha)=\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$。

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