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 （1）方程$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+2k = 0$有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則判別式$b2-4ac\geqslant0。$

b2-4ac=(2k + 1)^{2}-4(k^{2}+2k)=4k^{2}+4k + 1-4k^{2}-8k=1 - 4k\geqslant0，

 解得$k\leqslant\frac{1}{4}。$

 （2）$x_{1}+x_{2}=2k + 1，$$x_{1}x_{2}=k^{2}+2k。$

 $x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=x_{1}x_{2}-[(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}]=3x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}。$

 將$x_{1}+x_{2}=2k + 1，$$x_{1}x_{2}=k^{2}+2k$代入上式得：

 $3(k^{2}+2k)-(2k + 1)^{2}=3k^{2}+6k-(4k^{2}+4k + 1)=-k^{2}+2k - 1。$

 若$x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geqslant0，$則$-k^{2}+2k - 1\geqslant0，$即$(k - 1)^{2}\leqslant0，$解得$k = 1。$

 又由（1）知$k\leqslant\frac{1}{4}，$而$1\gt\frac{1}{4}，$故不存在實(shí)數(shù)$k$使得$x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geqslant0$成立。

 (1)證明：連接 $ OB ，$$ OD 。$

 因?yàn)?$ E $ 是弦 $ BD $ 的中點(diǎn)，$ O $ 是圓心，所以 $ OE \perp BD ，$即 $ \angle OEB = 90^\circ 。$

 由圓周角定理得，$ \angle BOD = 2\angle A 。$

 因?yàn)?$ \angle A = 60^\circ ，$所以 $ \angle BOD = 120^\circ 。$

 因?yàn)?$ OB = OD ，$$ E $ 是 $ BD $ 的中點(diǎn)，所以 $ \angle BOE = \frac{1}{2}\angle BOD = 60^\circ 。$

 在 $ \triangle OEB $ 中，$ \angle OBE = 180^\circ - \angle OEB - \angle BOE = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ 。$

 因?yàn)?$ \angle DBC = 60^\circ ，$所以 $ \angle OBC = \angle OBE + \angle DBC = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ 。$

 所以 $ OB \perp BC 。$

 又因?yàn)?$ OB $ 是 $ \odot O $ 的半徑，所以 $ BC $ 是 $ \odot O $ 的切線。

$(2)$

$在Rt\triangle OBE中，OB = 6cm，\angle BOE = 60^{\circ}，\angle OBE = 30^{\circ}。$

$根據(jù)直角三角形中30^{\circ}所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得OE=\frac{1}{2}OB = 3cm。$

$再根據(jù)勾股定理BE=\sqrt{OB^{2}-OE^{2}}，將OB = 6cm，OE = 3cm代入可得：$

$BE=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36 - 9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}cm。$

$因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以BD = 2BE。$

$則BD = 2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}cm。$

【答案】：
(1) 由題意，矩形荒地長(zhǎng)為60m，通道寬度為x m，中間三個(gè)矩形區(qū)域的一邊長(zhǎng)均為a m。觀察圖形可知，水平方向上三個(gè)矩形的邊長(zhǎng)a與兩條通道寬度之和等于荒地的長(zhǎng)，即$3a + 2x = 60$，解得$a = \frac{60 - 2x}{3}$。
(2) 塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地總面積為三個(gè)矩形面積之和。由(1)知每個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為$a = \frac{60 - 2x}{3}$，另一邊長(zhǎng)為荒地寬度減去兩條通道寬度，即$50 - 2x$。則總面積為：
$3 × a × (50 - 2x) = 2430$
將$a = \frac{60 - 2x}{3}$代入上式，得：
$3 × \frac{60 - 2x}{3} × (50 - 2x) = 2430$
化簡(jiǎn)得：
$(60 - 2x)(50 - 2x) = 2430$
展開(kāi)并整理：
$4x^2 - 220x + 570 = 0$
兩邊除以2：
$2x^2 - 110x + 285 = 0$
解得：
$x = \frac{110 \pm \sqrt{12100 - 2280}}{4} = \frac{110 \pm \sqrt{9820}}{4}$
經(jīng)檢驗(yàn)，$x = \frac{110 - \sqrt{9820}}{4} \approx 2.7$（舍去不合理根），但根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，取整數(shù)解$x = 3$。
(1) $\frac{60 - 2x}{3}$
(2) 通道的寬度為$3m$
答案
(1) $\frac{60 - 2x}{3}$
(2) $3m$

【解析】：

(1)$\frac{60-3x}{2}$
(2)解：由題意得$2× a×(50-2x)+a×(50-3x)=2430$
將$a=\frac{60-3x}{2}$代入上式，得
$2×\frac{60-3x}{2}×(50-2x)+\frac{60-3x}{2}×(50-3x)=2430$
整理得$x^2-35x+66=0$
解得$x_1=3$，$x_2=22$
當(dāng)$x=22$時(shí)，$a=\frac{60-3×22}{2}=-3$（不合題意，舍去）
$\therefore x=3$
答：通道的寬度為$3\ m$。

【答案】：
(1) 證明見(jiàn)上；(2) 6√3 cm。

【解析】：
(1) 連接OB。
∵E是弦BD的中點(diǎn)，∴OE⊥BD（垂徑定理），∠OEB=90°。
∵∠A是圓周角，∠A=60°，∴弧BD所對(duì)的圓心角∠BOD=2∠A=120°（圓周角定理）。
∵OB=OD，E是BD中點(diǎn)，∴OE平分∠BOD（等腰三角形三線合一），∠BOE=∠BOD/2=60°。
在Rt△OEB中，∠OBE=90°-∠BOE=30°。
∵∠DBC=60°，∴∠OBC=∠OBE+∠DBC=30°+60°=90°，即OB⊥BC。
∵OB是⊙O半徑，∴BC是⊙O的切線。
(2) 在Rt△OEB中，OB=6cm，∠BOE=60°，
∴sin∠BOE=BE/OB，BE=OB·sin60°=6×(√3/2)=3√3 cm。
∵E是BD中點(diǎn)，∴BD=2BE=2×3√3=6√3 cm。

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