（1）證明：連接 $OE，$
因?yàn)?$AD$ 是 $\odot O$ 的直徑，所以 $OA = OE = \frac{AD}{2} = 2。$
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ，$$\angle B = 30^\circ，$所以 $\angle BAC = 60^\circ。$
因?yàn)?$AE$ 是角平分線，所以 $\angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAC = 30^\circ。$
又因?yàn)?$OA = OE，$所以 $\triangle AOE$ 是等腰三角形，$\angle OEA = \angle BAE = 30^\circ。$
在 $\triangle AEC$ 中，$\angle C = 90^\circ，$$\angle CAE = 30^\circ，$所以 $\angle AEC = 60^\circ。$
因此 $\angle OEC = \angle AEC - \angle OEA = 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ，$即 $OE \perp BC。$
因?yàn)?$OE$ 是 $\odot O$ 的半徑，所以 $BC$ 是 $\odot O$ 的切線。
（2）解：連接 $DE，$過 $E$ 作 $EF \perp AB$ 于 $F。$
由（1）知 $\angle BAE = 30^\circ，$$OA = 2，$在 $\triangle AOE$ 中，由正弦定理得 $OE \cdot \sin 30^\circ = EF，$即 $EF = OE \cdot \sin 30^\circ = 2 \times \frac{1}{2} = 1$（此處修正：應(yīng)為 $EF = OE \cdot \sin 60^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}，$因 $\angle AOE = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ，$$EF$ 為 $\triangle OEB$ 的高）。
$\angle AOE = 120^\circ，$扇形 $AOE$ 的面積為 $\frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 2^2 = \frac{4\pi}{3}。$
$\triangle AOE$ 的面積為 $\frac{1}{2} \times OA \times OE \times \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}。$
在 $\triangle ABE$ 中，$\angle BAE = 30^\circ，$$AB = 2AC$（設(shè) $AC = x，$則 $AB = 2x，$由 $BC$ 是切線，$BE = \frac{OE}{\tan 30^\circ} = 2\sqrt{3}，$$AB = AD + DB = 4 + DB，$但更簡便：陰影部分面積為 $\triangle OEB$ 的面積減去扇形 $OED$ 的面積（因 $D$ 在圓上，$OE = OD = 2，$$\angle EOD = 60^\circ$）。
$\triangle OEB$ 中，$OB = OD + DB，$$\angle OBE = 30^\circ，$$OE = 2，$則 $OB = \frac{OE}{\sin 30^\circ} = 4，$所以 $DB = OB - OD = 4 - 2 = 2。$
$\triangle OEB$ 的面積為 $\frac{1}{2} \times OB \times EF = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}。$
扇形 $OED$ 中，$\angle EOD = 60^\circ$（因 $\angle OEB = 60^\circ，$$OE = OD$），面積為 $\frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 2^2 = \frac{2\pi}{3}。$
故陰影部分面積為 $\triangle OEB$ 的面積減去扇形 $OED$ 的面積，即 $2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}。$
綜上，陰影部分面積為 $2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}。$
