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第121頁

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（1）解方程$\frac{2x + 1}{1 - x}=4，$兩邊同乘$1 - x$得：$2x + 1 = 4(1 - x)，$展開得$2x + 1 = 4 - 4x，$移項合并同類項得$6x = 3，$解得$x=\frac{1}{2}。$經(jīng)檢驗，$x = \frac{1}{2}$是原分式方程的解。
因為方程$2x^2 - kx + 1 = 0$的一個解與上述方程的解相同，所以將$x=\frac{1}{2}$代入$2x^2 - kx + 1 = 0，$得$2\times(\frac{1}{2})^2 - k\times\frac{1}{2}+1 = 0，$即$2\times\frac{1}{4}-\frac{k}{2}+1 = 0，$化簡得$\frac{1}{2}-\frac{k}{2}+1 = 0，$$\frac{3}{2}-\frac{k}{2}=0，$解得$k = 3。$
（2）由（1）知方程為$2x^2 - 3x + 1 = 0，$設(shè)方程的另一個解為$x_1，$根據(jù)韋達定理，兩根之積為$\frac{1}{2}，$已知一個根為$\frac{1}{2}，$則$\frac{1}{2}x_1=\frac{1}{2}，$解得$x_1 = 1，$所以方程的另一個解為$1。$
設(shè)$\odot O$的半徑為$R$m。
根據(jù)題意，$AB = 3$m，由垂徑定理可知，垂直于弦的直徑平分弦，所以$AF=\frac{1}{2}AB = 1.5$m。
在$Rt\triangle AOF$中，$OF = R - EF=(R - 1)$m，$OA = R$m。
根據(jù)勾股定理$OA^{2}=OF^{2}+AF^{2}，$可得：
$R^{2}=(R - 1)^{2}+1.5^{2}$
展開并化簡：
$R^{2}=R^{2}-2R + 1 + 2.25$
$2R=3.25$
解得：
$R = 1.625$
綜上，$\overset{\frown}{AB}$所在$\odot O$的半徑為$1.625$m。
（1）設(shè)每件童裝應(yīng)降價$x$元，根據(jù)題意，得$(40 - x)(20 + 2x) = 1200。$
展開并整理：$-2x^2 + 60x + 800 = 1200，$即$x^2 - 30x + 200 = 0。$
因式分解：$(x - 10)(x - 20) = 0，$解得$x_1 = 10，$$x_2 = 20。$
答：每件童裝應(yīng)降價10元或20元。
（2）設(shè)總盈利為$y$元，則$y = (40 - x)(20 + 2x) = -2x^2 + 60x + 800。$
配方：$y = -2(x^2 - 30x) + 800 = -2[(x - 15)^2 - 225] + 800 = -2(x - 15)^2 + 1250。$
∵$-2 ＜ 0，$
∴當(dāng)$x = 15$時，$y$有最大值。
答：每件童裝應(yīng)降價15元。
$ (1）解：設(shè) AD = x ，以 D 為原點， DE 所在直線為 x 軸， AD 所在直線為 y 軸建立坐標(biāo)系。則 D(0,0) ， E(2,0) ， O(1,0) ， A(0,x) ， C(0,\frac{x}{2}) 。 直線 AE 方程： y = -\frac{x}{2}x + x 。 ⊙ O 方程： (x-1)^2 + y^2 = 1 。 ∵ 四邊形 BCOE 是平行四邊形，∴ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OE} = (1,0) ，故 B(1,\frac{x}{2}) 。 將 B(1,\frac{x}{2}) 代入⊙ O 方程： (1-1)^2 + (\frac{x}{2})^2 = 1 ，解得 x = 2 。 ∴ AD = 2 。$

$(2）BC是⊙O的切線，證明如下： $
$ 連接OB。 $
$ 因為四邊形BCOE是平行四邊形，所以BC∥OE，BC=OE=1。 $
$ 由（1）知AD=2，C是AD中點，所以CD=1，即BC=CD。 $
$ 因為AD是⊙O的切線，所以O(shè)D⊥AD，即∠ODC=90°。 $
$ 又因為BC∥OE，OE=OD，所以∠CBO=∠DOB，∠ODC=∠BCD=90°。 $
$ 在△ODC和△BCO中，OD=OB=1，CD=BC=1，OC=OC， $
$ 所以△ODC≌△OBC（SSS），則∠OBC=∠ODC=90°。 $
$ 因為OB是⊙O的半徑，且OB⊥BC，所以BC是⊙O的切線。 $
連接OA。
∵CD=8m，OC=5m，
∴OD=CD-OC=8-5=3m。
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，∠ADO=90°。
在Rt△ADO中，OA=OC=5m，OD=3m，
由勾股定理得：AD2+OD2=OA2，
即AD2+32=52，
AD2=25-9=16，
AD=4m。
∴AB=2AD=2×4=8m。
答：水面寬AB為8m。
【答案】：
(1)$k = 3$；(2)另一個解為$1$。

【解析】：
(1)解方程$\frac{2x + 1}{1 - x}=4$：
兩邊同乘$1 - x$得$2x + 1 = 4(1 - x)$，
展開得$2x + 1 = 4 - 4x$，
移項合并得$6x = 3$，解得$x = \frac{1}{2}$。
檢驗：$x = \frac{1}{2}$時，$1 - x = \frac{1}{2} \neq 0$，故$x = \frac{1}{2}$是原分式方程的解。
將$x = \frac{1}{2}$代入$2x^2 - kx + 1 = 0$：
$2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - k\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 0$，
即$2 × \frac{1}{4} - \frac{k}{2} + 1 = 0$，
化簡得$\frac{1}{2} - \frac{k}{2} + 1 = 0$，
$\frac{3}{2} - \frac{k}{2} = 0$，解得$k = 3$。
(2)方程為$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
因式分解得$(2x - 1)(x - 1) = 0$，
解得$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = 1$，
故另一個解為$1$。
【答案】：
(1) $ 2 $；(2) 是，證明見上。

【解析】：
(1) 設(shè) $ AD = x $，以 $ D $ 為原點，$ DE $ 所在直線為 $ x $ 軸，$ AD $ 所在直線為 $ y $ 軸建立坐標(biāo)系。則 $ D(0,0) $，$ E(2,0) $，$ O(1,0) $，$ A(0,x) $，$ C(0,\frac{x}{2}) $。
直線 $ AE $ 方程：$ y = -\frac{x}{2}x + x $。
⊙$ O $ 方程：$ (x-1)^2 + y^2 = 1 $。
∵ 四邊形 $ BCOE $ 是平行四邊形，∴ $ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OE} = (1,0) $，故 $ B(1,\frac{x}{2}) $。
將 $ B(1,\frac{x}{2}) $ 代入⊙$ O $ 方程：$ (1-1)^2 + (\frac{x}{2})^2 = 1 $，解得 $ x = 2 $。
∴ $ AD = 2 $。
(2) 是切線。證明如下：
由(1)得 $ B(1,1) $，$ O(1,0) $，$ C(0,1) $。
$ OB = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2} = 1 $，$ BC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2} = 1 $，$ OC = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2} $。
∵ $ OB^2 + BC^2 = 1 + 1 = 2 = OC^2 $，∴ $ \angle OBC = 90^\circ $，即 $ OB \perp BC $。
∵ $ OB $ 是半徑，∴ $ BC $ 是⊙$ O $ 的切線。
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